Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 298

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики функций:

Задача 298

y=sin⁡x2y=\sin x^2
ПостроениеФункция чётная, определена на R\mathbb R, имеет множество
значений [−1,1][-1,1] и колеблется всё чаще при увеличении ∣x∣|x|.

Построение

Функция определена при всех действительных xx. Поскольку выражение x2x^2
не изменяется при замене xx на −x-x, имеемf(−x)=sin⁡((−x)2)=sin⁡x2=f(x)f(-x)=\sin\bigl((-x)^2\bigr)=\sin x^2=f(x)Следовательно, функция чётная, и достаточно исследовать её при x⩾0x\geqslant0.

При x⩾0x\geqslant0 величина u=x2u=x^2 возрастает от 00 до +∞+\infty и принимает все
неотрицательные значения. Поэтому функция sin⁡x2=sin⁡u\sin x^2=\sin u принимает
все значения из отрезка [−1,1][-1,1].

Нули определяются условиемx2=kπx^2=k\piПоскольку x2⩾0x^2\geqslant0, здесь k=0,1,2,…k=0,1,2,\ldots. Следовательно,x=±kπ,k=0,1,2,…x=\pm\sqrt{k\pi},
\qquad
k=0,1,2,\ldotsПри k=0k=0 оба знака дают одну точку x=0x=0.

Наибольшее значение 11 достигается в точкахx=±π2+2πk,k=0,1,2,…x=\pm\sqrt{\frac{\pi}{2}+2\pi k},
\qquad
k=0,1,2,\ldotsа наименьшее значение −1-1 — в точкахx=±3π2+2πk,k=0,1,2,…x=\pm\sqrt{\frac{3\pi}{2}+2\pi k},
\qquad
k=0,1,2,\ldotsНа положительной полуоси замена u=x2u=x^2 сохраняет порядок точек. Поэтому последовательные участки возрастания и убывания синуса переходят в соответствующие участки новой кривой: между соседними вершинами функция меняется монотонно. Около x=0x=0 она неотрицательна, поэтому (0,0)(0,0) — нижняя точка первой дуги.

Расстояние между соседними положительными нулями равно(k+1)π−kπ=π(k+1)π+kπ⟶0\begin{aligned}
\sqrt{(k+1)\pi}-\sqrt{k\pi}
&=\frac{\pi}{\sqrt{(k+1)\pi}+\sqrt{k\pi}}
\longrightarrow0
\end{aligned}Поэтому при удалении от начала координат колебания становятся всё более
частыми. Равномерного повторения через один и тот же промежуток нет. Отсутствие положительного периода для этой функции доказано в №233, пункт д).

Построение графика

Сначала строим правую половину графика по найденным нулям
и экстремумам. Затем отражаем её относительно оси OyOy. На рисунке отмечены
все нули и экстремумы, попавшие в выбранное координатное окно.график к задаче Демидовича № 298
Демидович № 298 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика