Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 298

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики функций:

Задача 298

y=sin⁡x2y=\sin x^2
ПостроениеФункция чётная, определена на R\mathbb R, имеет множество
значений [−1,1][-1,1] и колеблется всё чаще при увеличении ∣x∣|x|.

Построение

Идея

Функция определена при всех действительных xx. Поскольку выражение x2x^2
не изменяется при замене xx на −x-x, имеемf(−x)=sin⁡((−x)2)=sin⁡x2=f(x)f(-x)=\sin\bigl((-x)^2\bigr)=\sin x^2=f(x)Следовательно, функция чётная, и достаточно исследовать её при x⩾0x\geqslant0.
  1. 1
    При x⩾0x\geqslant0 величина u=x2u=x^2 непрерывно возрастает от 00 до
    +∞+\infty. Поэтому функция sin⁡x2=sin⁡u\sin x^2=\sin u принимает все значения из
    отрезка [−1,1][-1,1].

    Нули определяются условиемx2=kπx^2=k\piПоскольку x2⩾0x^2\geqslant0, здесь k=0,1,2,…k=0,1,2,\ldots. Следовательно,x=±kπ,k=0,1,2,…x=\pm\sqrt{k\pi},
    \qquad
    k=0,1,2,\ldots    При k=0k=0 оба знака дают одну точку x=0x=0.

    Наибольшее значение 11 достигается в точкахx=±π2+2πk,k=0,1,2,…x=\pm\sqrt{\frac{\pi}{2}+2\pi k},
    \qquad
    k=0,1,2,\ldots    а наименьшее значение −1-1 — в точкахx=±3π2+2πk,k=0,1,2,…x=\pm\sqrt{\frac{3\pi}{2}+2\pi k},
    \qquad
    k=0,1,2,\ldots    Идея. Производная равнаy′=2xcos⁡x2y'=2x\cos x^2На положительной полуоси множитель 2x2x положителен, поэтому знак производной
    совпадает со знаком cos⁡x2\cos x^2. Между соседними точками максимума и минимума
    функция поочерёдно возрастает и убывает. В точке x=0x=0 функция имеет локальный
    минимум: в её окрестности sin⁡x2⩾0\sin x^2\geqslant0.

    Расстояние между соседними положительными нулями равно(k+1)π−kπ=π(k+1)π+kπ⟶0\begin{aligned}
    \sqrt{(k+1)\pi}-\sqrt{k\pi}
    &=\frac{\pi}{\sqrt{(k+1)\pi}+\sqrt{k\pi}}
    \longrightarrow0
    \end{aligned}    Поэтому при удалении от начала координат колебания становятся всё более
    частыми. Равномерного повторения через один и тот же промежуток нет.
  2. 2

    Построение графика

    Сначала строим правую половину графика по найденным нулям
    и экстремумам. Затем отражаем её относительно оси OyOy. На рисунке отмечены
    все нули и экстремумы, попавшие в выбранное координатное окно.график к задаче Демидовича № 298

Проверка

Ответ. Функция чётная, определена на R\mathbb R, имеет множество
значений [−1,1][-1,1] и колеблется всё чаще при увеличении ∣x∣|x|.
Демидович № 298 — решение и ответ