Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 323

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 323

Построить график функции y=arcsin⁡y1y=\arcsin y_1, если:а) y1=1−x2б) y1=2x1+x2\text{а) }y_1=1-\frac{x}{2}
\qquad
\text{б) }y_1=\frac{2x}{1+x^2}в) y1=1−x1+xг) y1=ex\text{в) }y_1=\frac{1-x}{1+x}
\qquad
\text{г) }y_1=e^x
ПостроениеВ подпунктах а)–г) области определения равны соответственно
[0,4][0,4], R\mathbb R, [0,+∞)[0,+\infty) и (−∞,0](-\infty,0]; графики построены
по полному диапазону внутренней функции y1y_1.

Построение

Пункт а)

Во всех подпунктах необходимо сначала найти те значения xx, для которых
y1∈[−1,1]y_1\in[-1,1]. После этого используем строгую монотонность функции
arcsin⁡t\arcsin t на [−1,1][-1,1].

Для y1=1−x2y_1=1-\frac{x}{2} условие допустимости имеет вид−1⩽1−x2⩽1⟺0⩽x⩽4-1\leqslant1-\frac{x}{2}\leqslant1
\qquad\Longleftrightarrow\qquad
0\leqslant x\leqslant4Следовательно,D=[0,4]E=[−π2,π2]D=[0,4]
\qquad
E=\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]Функция строго убывает и проходит через точки(0,π2),(2,0),(4,−π2)\left(0,\frac{\pi}{2}\right),
\qquad
(2,0),
\qquad
\left(4,-\frac{\pi}{2}\right)Кроме того, f(4−x)=−f(x)f(4-x)=-f(x), поэтому график центрально симметричен
относительно точки (2,0)(2,0).

Пункт б)

Из неравенств(x−1)2⩾0(x+1)2⩾0(x-1)^2\geqslant0
\qquad
(x+1)^2\geqslant0следует−1⩽2x1+x2⩽1-1\leqslant\frac{2x}{1+x^2}\leqslant1при каждом x∈Rx\in\mathbb R: знаменатель 1+x21+x^2 всегда положителен,
поэтому при делении знаки неравенств не меняются. Следовательно,
D=RD=\mathbb R.
Положим α=arctg⁡x\alpha=\operatorname{arctg}x. Тогда
tg⁡α=x\operatorname{tg}\alpha=x и по формуле двойного углаsin⁡(2α)=2tg⁡α1+tg⁡2α=2x1+x2\sin(2\alpha)
=\frac{2\operatorname{tg}\alpha}
{1+\operatorname{tg}^2\alpha}
=\frac{2x}{1+x^2}То есть можно положить t=2arctg⁡xt=2\operatorname{arctg}x. Тогдаsin⁡t=2x1+x2−π<t<π\sin t=\frac{2x}{1+x^2}
\qquad
-\pi<t<\piС учётом главного диапазона арксинуса получаемy={−π−2arctg⁡x,x⩽−12arctg⁡x,−1⩽x⩽1π−2arctg⁡x,x⩾1y=
\begin{cases}
-\pi-2\operatorname{arctg}x,&x\leqslant-1\\
2\operatorname{arctg}x,&-1\leqslant x\leqslant1\\
\pi-2\operatorname{arctg}x,&x\geqslant1
\end{cases}Функция нечётная, её множество значений равно
[−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]. Она возрастает на
[−1,1][-1,1] и убывает на каждом из лучей (−∞,−1](-\infty,-1] и [1,+∞)[1,+\infty).
В точках x=±1x=\pm1 соседние части задаются разными формулами. При
x→±∞x\to\pm\infty график приближается к оси OxOx.

Пункт в)

Дробь (1−x)(1+x)\frac{(1-x)}{(1+x)} не определена при x=−1x=-1. На
(−∞,−1)(-\infty,-1) имеем1−x1+x=−1+21+x<−1,\frac{1-x}{1+x}=-1+\frac{2}{1+x}<-1,поскольку 1+x<01+x<0. Поэтому эта часть не входит в область определения.
При x>−1x>-1 знаменатель 1+x1+x положителен, так что при умножении на него
знаки неравенств не меняются. Решаем двойное неравенство и получаем−1⩽1−x1+x⩽1⟺x⩾0-1\leqslant\frac{1-x}{1+x}\leqslant1
\qquad\Longleftrightarrow\qquad
x\geqslant0Следовательно,D=[0,+∞)E=(−π2,π2]D=[0,+\infty)
\qquad
E=\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]Запись 1−x1+x=−1+21+x\frac{1-x}{1+x}=-1+\frac2{1+x} показывает, что внутреннее выражение строго убывает при x≥0x\ge0. Арксинус сохраняет это направление монотонности.
Она начинается в точке (0,π2)\left(0,\frac{\pi}{2}\right) и пересекает ось OxOx в точке (1,0)(1,0) и при
x→+∞x\to+\infty приближается к горизонтальной асимптоте
y=−π2y=-\frac{\pi}{2}.

Пункт г)

Условие ex∈[−1,1]e^x\in[-1,1] равносильно неравенству x⩽0x\leqslant0.
ПоэтомуD=(−∞,0]E=(0,π2]D=(-\infty,0]
\qquad
E=\left(0,\frac{\pi}{2}\right]Показательная функция и арксинус строго возрастают, поэтому их композиция также строго возрастает. При x→−∞x\to-\infty график
приближается к горизонтальной асимптоте y=0y=0, а в точке
(0,π2)\left(0,\frac{\pi}{2}\right) достигает своего наибольшего значения.

Построение графиков.
На каждом рисунке отмечаем найденные граничные точки, нули и экстремумы.
график к задаче Демидовича № 323график к задаче Демидовича № 323график к задаче Демидовича № 323график к задаче Демидовича № 323
Демидович № 323 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика