Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 307

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики функций:

Задача 307

y=cos⁡x1+x2y=\frac{\cos x}{1+x^2}
ПостроениеФункция чётная, имеет горизонтальную асимптоту y=0y=0 и
множество значений [f(β),1][f(\beta),1], где
β≈2,543732\beta\approx2{,}543732 и f(β)≈−0,110640f(\beta)\approx-0{,}110640.

Построение

Идея

Знаменатель положителен при всех действительных xx, поэтому
D=RD=\mathbb R. Функция чётная:f(−x)=cos⁡(−x)1+(−x)2=f(x)f(-x)=\frac{\cos(-x)}{1+(-x)^2}=f(x)Её нули имеют видx=π2+πkk∈Zx=\frac{\pi}{2}+\pi k
\qquad
k\in\mathbb ZТак как∣f(x)∣⩽11+x2⟶0x→±∞|f(x)|\leqslant\frac1{1+x^2}\longrightarrow0
\qquad
x\to\pm\inftyпрямая y=0y=0 является горизонтальной асимптотой. Кроме того,
∣f(x)∣⩽1|f(x)|\leqslant1, причём f(0)=1f(0)=1, поэтому 11 является наибольшим
значением функции.
  1. 1
    Идея. Производная имеет видy′=−(1+x2)sin⁡x+2xcos⁡x(1+x2)2y'=-\frac{(1+x^2)\sin x+2x\cos x}{(1+x^2)^2}Обозначим числитель в скобках черезH(x)=(1+x2)sin⁡x+2xcos⁡xH(x)=(1+x^2)\sin x+2x\cos xТогдаH′(x)=(x2+3)cos⁡xH'(x)=(x^2+3)\cos xНа всей первой отрицательной волне
    (π2,3π2)\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right) функция HH строго
    убывает, поскольку там cos⁡x<0\cos x<0 и, следовательно, H′(x)<0H'(x)<0. При этомH(π2)>0H(π)=−2π<0H\left(\frac{\pi}{2}\right)>0
    \qquad
    H(\pi)=-2\pi<0    Следовательно, на всей этой волне существует ровно один корень β\beta,
    причём β∈(π2,π)\beta\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right). Численноβ≈2,543732f(β)≈−0,110640\beta\approx2{,}543732
    \qquad
    f(\beta)\approx-0{,}110640    В этой точке достигается минимум первой отрицательной волны. На всех
    следующих отрицательных волнах при x⩾5π2x\geqslant\frac{5\pi}{2} имеем∣f(x)∣⩽11+(5π2)2<0,016|f(x)|\leqslant
    \frac1{1+\left(\frac{5\pi}{2}\right)^2}<0{,}016    поэтому минимум при x=±βx=\pm\beta является глобальным. Таким образом,E=[f(β),1]E=[f(\beta),1]Остальные точки экстремума находятся из уравнения H(x)=0H(x)=0; амплитуда
    последовательных волн быстро убывает.
  2. 2

    Построение графика

    Отмечаем точку (0,1)(0,1), нули косинуса и первые
    экстремумы. Волны заключены между огибающими
    y=±11+x2y=\pm\frac1{1+x^2} и стремятся к оси OxOx.график к задаче Демидовича № 307

Проверка

Ответ. Функция чётная, имеет горизонтальную асимптоту y=0y=0 и
множество значений [f(β),1][f(\beta),1], где
β≈2,543732\beta\approx2{,}543732 и f(β)≈−0,110640f(\beta)\approx-0{,}110640.
Демидович № 307 — решение и ответ