Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 307

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики функций:

y=\frac{\cos x}{1+x^2}

ПостроениеФункция чётная, имеет наибольшее значение

1

при

x=0

, нули

x=\frac{\pi}{2}+\pi k

и горизонтальную асимптоту

y=0

. Колебания заключены между кривыми

y=\pm\frac{1}{(1+x^2)}

Построение

Знаменатель положителен при всех действительных

x

, поэтому

D=\mathbb R

. Функция чётная:

f(-x)=\frac{\cos(-x)}{1+(-x)^2}=f(x)

Её нули имеют вид

x=\frac{\pi}{2}+\pi k\qquadk\in\mathbb Z

Так как

|f(x)|\leqslant\frac1{1+x^2}\longrightarrow0\qquadx\to\pm\infty

прямая

y=0

является горизонтальной асимптотой. Кроме того,

|f(x)|\leqslant1

, причём

f(0)=1

, поэтому

1

является наибольшим
значением функции.

График получается умножением ординат косинусоиды на положительный множитель

\frac{1}{(1+x^2)}

. Поэтому знак на каждой полуволне совпадает со знаком косинуса, а вся кривая находится между графиками

y=\pm\frac{1}{(1+x^2)}

из №256.

На первом участке

[0,\frac{\pi}{2}]

оба неотрицательных множителя убывают, поэтому функция строго убывает от

1

до

0

. Остальные дуги строим по произведению ординат, отмечая нули и опорные значения

f(\pi)=-\frac1{1+\pi^2},\qquadf(2\pi)=\frac1{1+4\pi^2},\qquadf(3\pi)=-\frac1{1+9\pi^2}.

При дальнейшем удалении от нуля ограничивающие кривые быстро приближаются к оси

Ox

, поэтому высота колебаний уменьшается. Левую половину получаем отражением правой.

Отмечаем точку

(0,1)

, нули косинуса и опорные точки. Волны заключены между огибающими

y=\pm\frac1{1+x^2}

и стремятся к оси

Ox