Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 332

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя правило сложения графиков, построить график функции

Задача 332

y=(x+1)−2+(x−1)−2y=(x+1)^{-2}+(x-1)^{-2}
ПостроениеОбласть определения равна
R∖{−1,1}\mathbb R\setminus\{-1,1\}, множество значений равно (0,+∞)(0,+\infty);
x=±1x=\pm1 — вертикальные асимптоты, y=0y=0 — горизонтальная асимптота.

Построение

Идея

Область определения получается пересечением областей определения двух
слагаемых:D=R∖{−1,1}D=\mathbb R\setminus\{-1,1\}Приведём сумму к общей дроби:y=1(x+1)2+1(x−1)2==2(x2+1)(x2−1)2\begin{aligned}
y&=\frac1{(x+1)^2}+\frac1{(x-1)^2}=\\
&=\frac{2(x^2+1)}{(x^2-1)^2}
\end{aligned}Функция чётная и положительна во всех точках области определения.
Прямые x=−1x=-1 и x=1x=1 являются вертикальными асимптотами, а при
x→±∞x\to\pm\infty имеем y→0y\to0, поэтому y=0y=0 — горизонтальная
асимптота.
  1. 1
    Для исследования монотонности найдём производную:y′=−4x(x2+3)(x2−1)3y'=-\frac{4x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}Так как x2+3>0x^2+3>0, знак производной определяется множителями xx и
    x2−1x^2-1. Функция возрастает на (−∞,−1)(-\infty,-1) и (0,1)(0,1) и убывает на
    (−1,0)(-1,0) и (1,+∞)(1,+\infty). В точке x=0x=0 центральная ветвь имеет минимумy(0)=2y(0)=2Внешние ветви принимают все положительные значения, поэтомуE=(0,+∞)E=(0,+\infty)
  2. 2

    Построение графика

    Складываем ординаты двух положительных функций.
    Около каждой из точек x=±1x=\pm1 соответствующее слагаемое и вся сумма
    неограниченно возрастают.график к задаче Демидовича № 332

Проверка

Ответ. Область определения равна
R∖{−1,1}\mathbb R\setminus\{-1,1\}, множество значений равно (0,+∞)(0,+\infty);
x=±1x=\pm1 — вертикальные асимптоты, y=0y=0 — горизонтальная асимптота.
Демидович № 332 — решение и ответ