Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 332

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя правило сложения графиков, построить график функции

Задача 332

y=(x+1)−2+(x−1)−2y=(x+1)^{-2}+(x-1)^{-2}
ПостроениеОбласть определения равна
R∖{−1,1}\mathbb R\setminus\{-1,1\}, множество значений равно (0,+∞)(0,+\infty);
x=±1x=\pm1 — вертикальные асимптоты, y=0y=0 — горизонтальная асимптота.

Построение

Область определения получается пересечением областей определения двух
слагаемых:D=R∖{−1,1}D=\mathbb R\setminus\{-1,1\}Приведём сумму к общей дроби:y=\displaystyle y\mathrel{=}1(x+1)2+1(x−1)2=\displaystyle \frac1{(x+1)^2}+\frac1{(x-1)^2}\mathrel{=}2(x2+1)(x2−1)2\displaystyle \frac{2(x^2+1)}{(x^2-1)^2}Функция чётная и положительна во всех точках области определения.
Прямые x=−1x=-1 и x=1x=1 являются вертикальными асимптотами, а при
x→±∞x\to\pm\infty имеем y→0y\to0, поэтому y=0y=0 — горизонтальная
асимптота.

При x>1x>1 оба положительных слагаемых 1(x+1)2\frac{1}{(x+1)}^2 и 1(x−1)2\frac{1}{(x-1)}^2 строго убывают, поэтому убывает и сумма.
При 0≤x<10\le x<1 положим t=x2t=x^2. Тогдаy=2(1+t)(1−t)2.y=\frac{2(1+t)}{(1-t)^2}.Числитель возрастает, а положительный знаменатель убывает; значит, отношение возрастает. Слева используем чётность. Получаем возрастание на (−∞,−1)(-\infty,-1) и [0,1)[0,1), убывание на (−1,0](-1,0] и (1,+∞)(1,+\infty). В середине центральной ветвиy(0)=112+1(−1)2=2.y(0)=\frac1{1^2}+\frac1{(-1)^2}=2.Внешние ветви принимают все положительные значения, поэтомуE=(0,+∞)E=(0,+\infty)

Построение графика

Складываем ординаты двух положительных функций.
Около каждой из точек x=±1x=\pm1 соответствующее слагаемое и вся сумма
неограниченно возрастают.график к задаче Демидовича № 332
Демидович № 332 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика