Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 317

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики обратных круговых функций:

y=\operatorname{arcctg}\frac1x

ПостроениеФункция определена при

x\ne0

, возрастает на каждом из
промежутков своей области определения, имеет скачок в нуле и
горизонтальную асимптоту

y=\frac{\pi}{2}

Построение

Дробь

\frac{1}{x}

определена при

x\ne0

, а функция

\operatorname{arcctg}t

определена при каждом действительном

t

.
Поэтому

D=\mathbb R\setminus\{0\}

Используя диапазон значений

\operatorname{arcctg}t\in(0,\pi)

,
получаем удобную кусочную запись:

\operatorname{arcctg}\frac1x=\begin{cases}\operatorname{arctg}x,&x>0\\\pi+\operatorname{arctg}x,&x<0\end{cases}

Действительно, в обоих случаях котангенс правой части равен

\frac{1}{x}

, а
значение принадлежит промежутку

(0,\pi)

.

При

x>0

функция принимает значения из

\left(0,\frac{\pi}{2}\right)

, а при

x<0

— из

\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)

. Следовательно,

E=\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)

Кроме того,

f(-x)=\pi-f(x)

поэтому график симметричен относительно точки

\left(0,\frac{\pi}{2}\right)

.

Арктангенс строго возрастает, а прибавление постоянного числа

\pi

не меняет этого свойства. По полученной кусочной формуле обе ветви строго возрастают. По кусочной формуле правая ветвь подходит к точке

(0,0)

, а левая — к точке

(0,\pi)

. Сам аргумент

x=0

не допускается.

Поэтому в нуле две ветви не соединяются. На графике
отмечаем две выколотые крайние точки:

(0,0)

(0,\pi)

.

Слева и справа при больших

|x|

ординаты близки к

\frac{\pi}{2}

: это следует из уже построенного графика арктангенса и кусочной формулы.

Поэтому прямая

y=\frac{\pi}{2}

является горизонтальной асимптотой и
не пересекается с графиком.

Строим две возрастающие ветви. Правая начинается у
выколотой односторонней предельной точки

(0,0)

и приближается снизу к

y=\frac{\pi}{2}

; левая приближается к этой же асимптоте сверху и
заканчивается у второй такой точки

(0,\pi)