Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 317

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики обратных круговых функций:

Задача 317

y=\operatorname{arcctg}\frac1x

ПостроениеФункция определена при

x\ne0

, возрастает на каждом из
промежутков своей области определения, имеет скачок в нуле и
горизонтальную асимптоту

y=\frac{\pi}{2}

Построение

Идея

Дробь

1/x

определена при

x\ne0

, а функция

\operatorname{arcctg}t

определена при каждом действительном

t

.
Поэтому

D=\mathbb R\setminus\{0\}

Используя диапазон значений

\operatorname{arcctg}t\in(0,\pi)

,
получаем удобную кусочную запись:

\operatorname{arcctg}\frac1x=\begin{cases}\operatorname{arctg}x,&x>0\\\pi+\operatorname{arctg}x,&x<0\end{cases}

Действительно, в обоих случаях котангенс правой части равен

1/x

, а
значение принадлежит промежутку

(0,\pi)

1
При $x>0$ функция принимает значения из
$\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ , а при $x<0$ — из
$\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$ . Следовательно, $E=\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$ Кроме того, $f(-x)=\pi-f(x)$ поэтому график симметричен относительно точки
$\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ .

Идея. На каждой части области определения производная равна $y'=\frac1{1+x^2}>0$ поэтому обе ветви возрастают. Односторонние пределы в нуле различны: $\lim_{x\to0+0}f(x)=0\qquad\lim_{x\to0-0}f(x)=\pi$ Следовательно, в точке $x=0$ имеется разрыв первого рода. На графике
отмечаем две выколотые односторонние предельные точки: $(0,0)$ и
$(0,\pi)$ .

При $x\to\pm\infty$ получаем $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\frac{\pi}{2}$ поэтому прямая $y=\frac{\pi}{2}$ является горизонтальной асимптотой и
не пересекается с графиком.
2
Построение графика
Строим две возрастающие ветви. Правая начинается у
выколотой односторонней предельной точки $(0,0)$ и приближается снизу к
$y=\frac{\pi}{2}$ ; левая приближается к этой же асимптоте сверху и
заканчивается у второй такой точки $(0,\pi)$ . $график к задаче Демидовича № 317$

Проверка

Ответ. Функция определена при

x\ne0

y=\frac{\pi}{2}