Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 305

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики функций:

Задача 305

y=excos⁡xy=e^x\cos x
ПостроениеНули имеют вид x=π2+πkx=\frac{\pi}{2}+\pi k; слева график
стремится к асимптоте y=0y=0, а вправо колеблется с неограниченно
возрастающей амплитудой.

Построение

Функция определена при всех x∈Rx\in\mathbb R. Её нули
совпадают с нулями косинуса:x=π2+πkk∈Zx=\frac{\pi}{2}+\pi k
\qquad
k\in\mathbb ZПоскольку ex>0e^x>0, знак функции совпадает со знаком cos⁡x\cos x. График
расположен между кривымиy=−exиy=exy=-e^x
\qquad\text{и}\qquad
y=e^xОценка ∣excos⁡x∣≤ex|e^x\cos x|\le e^x показывает: при движении влево обе огибающие приближаются к оси OxOx, а вместе с ними к ней приближается и график.

Прямая y=0y=0 является левой горизонтальной асимптотой. При движении
вправо размах колебаний растёт как exe^x.

Для построения достаточно одной полной волны, например на [−π2,3π2][-\frac{\pi}{2},3\frac{\pi}{2}]. Её нули — −π2,π2,3π2-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2},3\frac{\pi}{2}; при x=0x=0 значение равно 11, а при x=πx=\pi равно −eπ-e^\pi. Дополнительные точки:f(−π4)=e−π42,f(π4)=eπ42,f(3π4)=−e3π42,f(5π4)=−e5π42.f(-\frac{\pi}{4})=\frac{e^{-\frac{\pi}{4}}}{\sqrt2},\qquad
f(\frac{\pi}{4})=\frac{e^{\frac{\pi}{4}}}{\sqrt2},\qquad
f(3\frac{\pi}{4})=-\frac{e^{3\frac{\pi}{4}}}{\sqrt2},\qquad
f(5\frac{\pi}{4})=-\frac{e^{5\frac{\pi}{4}}}{\sqrt2}.Промежуточные ординаты получаем умножением значений косинуса на соответствующие значения exe^x.

Далее используем точное равенствоf(x+2π)=e2πf(x).f(x+2\pi)=e^{2\pi}f(x).Поэтому каждую следующую волну справа получаем переносом на 2π2\pi вправо и увеличением всех ординат в e2πe^{2\pi} раз. При переходе влево ординаты уменьшаются в тот же раз. Это определяет весь эскиз.

Построение графика

Строим огибающие y=±exy=\pm e^x и проводим между ними волну через найденные
нули и опорные точки. Влево она прижимается к оси OxOx, вправо её размах растёт.график к задаче Демидовича № 305