Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 305

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики функций:

Задача 305

y=excos⁡xy=e^x\cos x
ПостроениеНули имеют вид x=π2+πkx=\frac{\pi}{2}+\pi k; слева график
стремится к асимптоте y=0y=0, а вправо колеблется с неограниченно
возрастающей амплитудой.

Построение

Идея

Функция определена и непрерывна при всех x∈Rx\in\mathbb R. Её нули
совпадают с нулями косинуса:x=π2+πkk∈Zx=\frac{\pi}{2}+\pi k
\qquad
k\in\mathbb ZПоскольку ex>0e^x>0, знак функции совпадает со знаком cos⁡x\cos x. График
расположен между кривымиy=−exиy=exy=-e^x
\qquad\text{и}\qquad
y=e^xПри x→−∞x\to-\infty обе ограничивающие кривые стремятся к нулю, поэтомуlim⁡x→−∞excos⁡x=0\lim_{x\to-\infty}e^x\cos x=0и прямая y=0y=0 является левой горизонтальной асимптотой. При движении
вправо размах колебаний растёт как exe^x.
  1. 1
    Идея. Производная равнаy′=ex(cos⁡x−sin⁡x)y'=e^x(\cos x-\sin x)Поэтому критические точки имеют видx=π4+πkk∈Zx=\frac{\pi}{4}+\pi k
    \qquad
    k\in\mathbb Z    Так какcos⁡x−sin⁡x=2cos⁡(x+π4)\cos x-\sin x=\sqrt2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)знак производной чередуется. В точкахx=π4+2πkx=\frac{\pi}{4}+2\pi kдостигаются локальные максимумы, а в точкахx=5π4+2πkx=\frac{5\pi}{4}+2\pi k— локальные минимумы. Их значения равны соответственноeπ4+2πk2и−e5π4+2πk2\frac{e^{\frac{\pi}{4}+2\pi k}}{\sqrt2}
    \qquad\text{и}\qquad
    -\frac{e^{\frac{5\pi}{4}+2\pi k}}{\sqrt2}    Модули соседних экстремумов возрастают в eπe^\pi раз, а экстремумов одного
    вида — в e2πe^{2\pi} раз. Значения максимумов стремятся к +∞+\infty, а
    минимумов — к −∞-\infty. Поскольку функция непрерывна на всей числовой
    прямой, по теореме о промежуточных значениях она принимает каждое
    действительное значение, то есть E=RE=\mathbb R.
  2. 2

    Построение графика

    Строим огибающие y=±exy=\pm e^x и проводим между ними волну через найденные
    нули и экстремумы. Влево она прижимается к оси OxOx, вправо её размах растёт.график к задаче Демидовича № 305

Проверка

Ответ. Нули имеют вид x=π2+πkx=\frac{\pi}{2}+\pi k; слева график
стремится к асимптоте y=0y=0, а вправо колеблется с неограниченно
возрастающей амплитудой.
Демидович № 305 — решение и ответ