Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 335

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя правило сложения графиков, построить график функции

Задача 335

y=cos⁡x+12cos⁡2x+13cos⁡3xy=\cos x+\frac12\cos2x+\frac13\cos3x
ПостроениеГрафик чётен и имеет наименьший положительный период 2π2\pi; наибольшее значение 116\frac{11}{6}, наименьшее −56-\frac{5}{6}.

Построение

Складываем три косинусоиды; формулы кратных углов помогают проверить форму суммы.
Каждое слагаемое определено на R\mathbb R, чётно и имеет период 2π2\pi. Складываем их ординаты при одинаковых аргументах.
Для уточнения формы положим c=cos⁡xc=\cos x. Формулы cos⁡2x=2c2−1\cos2x=2c^2-1 и cos⁡3x=4c3−3c\cos3x=4c^3-3c даютf(x)=c+12(2c2−1)+13(4c3−3c)=43c3+c2−12=p(c).f(x)=c+\frac12(2c^2-1)+\frac13(4c^3-3c)
=\frac43c^3+c^2-\frac12=p(c).Уберём квадратный член заменой v=c+14v=c+\frac{1}{4}: коэффициент при v2v^2 равен 1−4⋅(14)=01-4\cdot(\frac{1}{4})=0. После раскрытия скобокp(c)=43v3−14v−1124.p(c)=\frac43v^3-\frac14v-\frac{11}{24}.Для v1<v2v_1<v_2 разность этих значений равна43(v2−v1)(v12+v1v2+v22−316).\frac43(v_2-v_1)\left(v_1^2+v_1v_2+v_2^2-\frac3{16}\right).Границы изменения знака выбираем из 3r2=3163r^2=\frac{3}{16}, то есть r=14r=\frac{1}{4}. Если оба аргумента лежат между −14-\frac{1}{4} и 14\frac{1}{4}, скобка отрицательна; если оба лежат справа от 14\frac{1}{4} или слева от −14-\frac{1}{4}, она положительна. Это то же сравнение трёх квадратных слагаемых, что в №324.2а.
Поэтому p(c)p(c) возрастает до c=−12c=-\frac{1}{2}, убывает от −12-\frac{1}{2} до 00 и возрастает после 00. На [0,π][0,\pi] косинус проходит значения в обратном порядке: от 11 до −1-1.
Вычислим опорные ординаты:p(1)=43+1−12=116,p(0)=−12,p(−12)=−16+14−12=−512,p(−1)=−43+1−12=−56.\begin{aligned}
p(1)&=\frac43+1-\frac12=\frac{11}6,\\
p(0)&=-\frac12,\\
p(-\frac{1}{2})&=-\frac16+\frac14-\frac12=-\frac5{12},\\
p(-1)&=-\frac43+1-\frac12=-\frac56.
\end{aligned}Соответствующие абсциссы равны 0,π2,2π3,π0,\frac{\pi}{2},2\frac{\pi}{3},\pi. На этом отрезке график сначала спускается, затем немного поднимается и снова спускается. Отразим его относительно OyOy и повторим с периодом 2π2\pi.
Наибольшее значение 116\frac{11}{6} достигается только при cos⁡x=1\cos x=1, то есть x=2πkx=2\pi k. Поэтому меньшего положительного периода нет. Наименьшее значение равно −56-\frac{5}{6}.график к задаче Демидовича № 335
Демидович № 335 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика