Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 326

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 326

Пустьf(x)={1−∣x∣,∣x∣⩽10,∣x∣>1f(x)=
\begin{cases}
1-|x|,&|x|\leqslant1\\[5pt]
0,&|x|>1
\end{cases}Построить графики функцийy=12[f(x−t)+f(x+t)]y=\frac12[f(x-t)+f(x+t)]при t=0,1,2t=0,1,2.
ПостроениеПри t=0t=0 получаем исходный треугольник высоты 11; при
t=1t=1 — два соприкасающихся в начале координат треугольника высоты
12\dfrac12; при t=2t=2 — два раздельных треугольника той же высоты.

Построение

Идея

Исходная функция равна нулю вне отрезка [−1,1][-1,1], а на этом отрезке её график представляет собой треугольник с вершинами (−1,0)(-1,0), (0,1)(0,1) и (1,0)(1,0).
  1. 1
    Идея. ОбозначимFt(x)=12[f(x−t)+f(x+t)]F_t(x)=\frac12[f(x-t)+f(x+t)]Слагаемое f(x−t)f(x-t) получается сдвигом графика ff вправо на tt, поэтому его носитель равен [t−1,t+1][t-1,t+1]. Слагаемое f(x+t)f(x+t) сдвинуто влево на tt и имеет носитель [−t−1,−t+1][-t-1,-t+1]. После сложения ординаты делятся на 22.
  2. 2

    Случай $t=0$

    Оба слагаемых совпадают, поэтомуF0(x)=12[f(x)+f(x)]=f(x)F_0(x)=\frac12[f(x)+f(x)]=f(x)То естьF0(x)={1−∣x∣,∣x∣≤10,∣x∣>1F_0(x)=
    \begin{cases}
    1-|x|,& |x|\le1\\[5pt]
    0,& |x|>1
    \end{cases}
  3. 3

    Случай $t=1$

    Носители сдвинутых функций равны [0,2][0,2] и [−2,0][-2,0]. Они имеют только общую точку x=0x=0, причём оба слагаемых в ней равны нулю. ПоэтомуF1(x)={x+22,−2≤x≤−1−x2,−1≤x≤0x2,0≤x≤12−x2,1≤x≤20,x<−2 или x>2F_1(x)=
    \begin{cases}
    \dfrac{x+2}{2},&-2\le x\le-1\\[8pt]
    -\dfrac{x}{2},&-1\le x\le0\\[8pt]
    \dfrac{x}{2},&0\le x\le1\\[8pt]
    \dfrac{2-x}{2},&1\le x\le2\\[8pt]
    0,&x<-2\text{ или }x>2
    \end{cases}    Получаются два треугольника высоты 12\dfrac12 с вершинами при x=−1x=-1 и x=1x=1.
  4. 4

    Случай $t=2$

    Теперь носители равны [1,3][1,3] и [−3,−1][-3,-1] и не пересекаются. На каждом из них остаётся один треугольник, уменьшенный по вертикали в два раза:F2(x)={x+32,−3≤x≤−2−x+12,−2≤x≤−1x−12,1≤x≤23−x2,2≤x≤30,x<−3, −1<x<1 или x>3F_2(x)=
    \begin{cases}
    \dfrac{x+3}{2},&-3\le x\le-2\\[8pt]
    -\dfrac{x+1}{2},&-2\le x\le-1\\[8pt]
    \dfrac{x-1}{2},&1\le x\le2\\[8pt]
    \dfrac{3-x}{2},&2\le x\le3\\[8pt]
    0,&x<-3,\ -1<x<1\text{ или }x>3
    \end{cases}
  5. 5

    Построение графика

    Строим графики по полученным кусочным формулам. Все три
    координатных окна имеют одинаковый масштаб, поэтому сдвиг треугольников и
    изменение их высоты можно сравнить непосредственно.график к задаче Демидовича № 326график к задаче Демидовича № 326график к задаче Демидовича № 326

Проверка

Ответ. При t=0t=0 получаем исходный треугольник высоты 11; при
t=1t=1 — два соприкасающихся в начале координат треугольника высоты
12\dfrac12; при t=2t=2 — два раздельных треугольника той же высоты.
Демидович № 326 — решение и ответ