Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 315

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики обратных круговых функций:

Задача 315

y=arcsin⁡1xy=\arcsin\frac1x
ПостроениеОбласть определения равна
(−∞,−1]∪[1,+∞)(-\infty,-1]\cup[1,+\infty); функция нечётная, обе её ветви убывают
и приближаются к асимптоте y=0y=0.

Построение

Идея

Аргумент арксинуса должен принадлежать отрезку [−1,1][-1,1]. Поэтому∣1x∣⩽1⟺∣x∣⩾1\left|\frac1x\right|\leqslant1
\qquad\Longleftrightarrow\qquad
|x|\geqslant1иD=(−∞,−1]∪[1,+∞)D=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)На найденной области определения внутренняя функция принимает значения1x∈[−1,0)∪(0,1]\frac1x\in[-1,0)\cup(0,1]Поскольку функция arcsin⁡t\arcsin t строго возрастает на [−1,1][-1,1], отсюда
получаемE=[−π2,0)∪(0,π2]E=\left[-\frac{\pi}{2},0\right)
\cup\left(0,\frac{\pi}{2}\right]Функция нечётная, посколькуarcsin⁡1−x=−arcsin⁡1x\arcsin\frac1{-x}=-\arcsin\frac1xЕё граничные значения равныf(−1)=−π2f(1)=π2f(-1)=-\frac{\pi}{2}
\qquad
f(1)=\frac{\pi}{2}
  1. 1
    Идея. На внутренности каждой части области определенияy′=−1∣x∣x2−1<0y'=-\frac1{|x|\sqrt{x^2-1}}<0поэтому обе ветви строго убывают. При x→−1−0x\to-1-0 и x→1+0x\to1+0 модуль
    производной стремится к бесконечности, следовательно, в точках
    x=±1x=\pm1 имеются вертикальные касательные.

    При x→±∞x\to\pm\infty имеем 1/x→01/x\to0, поэтомуlim⁡x→±∞arcsin⁡1x=0\lim_{x\to\pm\infty}\arcsin\frac1x=0Прямая y=0y=0 является горизонтальной асимптотой и совпадает с осью
    OxOx.
  2. 2

    Построение графика

    На луче x⩾1x\geqslant1 строим убывающую ветвь от
    (1,π2)\left(1,\frac{\pi}{2}\right) к асимптоте y=0y=0. Вторую ветвь
    получаем центральной симметрией относительно начала координат.график к задаче Демидовича № 315

Проверка

Ответ. Область определения равна
(−∞,−1]∪[1,+∞)(-\infty,-1]\cup[1,+\infty); функция нечётная, обе её ветви убывают
и приближаются к асимптоте y=0y=0.
Демидович № 315 — решение и ответ