Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 315

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики обратных круговых функций:

Задача 315

y=arcsin⁡1xy=\arcsin\frac1x
ПостроениеОбласть определения равна
(−∞,−1]∪[1,+∞)(-\infty,-1]\cup[1,+\infty); функция нечётная, обе её ветви убывают
и приближаются к асимптоте y=0y=0.

Построение

Аргумент арксинуса должен принадлежать отрезку [−1,1][-1,1]. Поэтому∣1x∣⩽1⟺∣x∣⩾1\left|\frac1x\right|\leqslant1
\qquad\Longleftrightarrow\qquad
|x|\geqslant1иD=(−∞,−1]∪[1,+∞)D=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)На найденной области определения внутренняя функция принимает значения1x∈[−1,0)∪(0,1]\frac1x\in[-1,0)\cup(0,1]Поскольку функция arcsin⁡t\arcsin t строго возрастает на [−1,1][-1,1], отсюда
получаемE=[−π2,0)∪(0,π2]E=\left[-\frac{\pi}{2},0\right)
\cup\left(0,\frac{\pi}{2}\right]Функция нечётная, посколькуarcsin⁡1−x=−arcsin⁡1x\arcsin\frac1{-x}=-\arcsin\frac1xЕё граничные значения равныf(−1)=−π2f(1)=π2f(-1)=-\frac{\pi}{2}
\qquad
f(1)=\frac{\pi}{2}На каждом из лучей определения дробь 1x\frac{1}{x} строго убывает. Арксинус строго возрастает по своему аргументу и сохраняет этот порядок, поэтому обе ветви композиции строго убывают. Дополнительные опорные точки — (2,π6)(2,\frac{\pi}{6}) и (−2,−π6)(-2,-\frac{\pi}{6}).

При большом ∣x∣|x| число 1x\frac{1}{x} близко к нулю, поэтому соответствующий угол arcsin⁡(1x)\arcsin(\frac{1}{x}) близок к 00.

Прямая y=0y=0 является горизонтальной асимптотой и совпадает с осью
OxOx.

Построение графика

На луче x⩾1x\geqslant1 строим убывающую ветвь от
(1,π2)\left(1,\frac{\pi}{2}\right) к асимптоте y=0y=0. Вторую ветвь
получаем центральной симметрией относительно начала координат.график к задаче Демидовича № 315