Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 296

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики тригонометрических функций:

Задача 296

y=\sin x\cdot\sin3x

ПостроениеФункция чётная, имеет период

\pi

и множество значений

\left[-1,\frac9{16}\right]

Построение

Идея

Область определения функции совпадает со всей числовой прямой. Произведение
двух нечётных функций является чётной функцией:

f(-x)=\sin(-x)\sin(-3x)=f(x)

Кроме того,

f(x+\pi)=(-\sin x)(-\sin3x)=f(x)

поэтому функция имеет период

\pi

1
Нули произведения определяются равенствами $\sin x=0$ или $\sin3x=0$ .
Первая группа входит во вторую, поэтому все нули имеют вид $x=\frac{k\pi}{3}\qquad k\in\mathbb Z$ Идея. Используем формулу синуса тройного угла и положим
$u=\sin^2x$ : $y=\sin x\bigl(3\sin x-4\sin^3x\bigr)=3u-4u^2$ На отрезке $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ величина $u=\sin^2x$
непрерывно возрастает от $0$ до $1$ , поэтому $u$ принимает все значения
из отрезка $[0,1]$ . Квадратичная функция
$3u-4u^2$ принимает на отрезке $[0,1]$ наибольшее значение при $u=\frac38$ и это значение равно $3\cdot\frac38-4\left(\frac38\right)^2=\frac9{16}$ Поскольку коэффициент при $u^2$ отрицателен, парабола направлена ветвями
вниз. Поэтому наименьшее значение на отрезке достигается в одном из его
концов. При $u=0$ получаем $0$ , а при $u=1$ получаем $-1$ . Следовательно, $E=\left[-1,\frac9{16}\right]$
2
Для уточнения формы одной волны обозначим $\alpha=\arcsin\sqrt{\frac38}$ Поскольку $0<\sqrt{\frac38}<\frac{\sqrt3}{2}=\sin\frac{\pi}{3}$ а функция $\arcsin t$ возрастает на $[0,1]$ , имеем
$0<\alpha<\frac{\pi}{3}$ . Производная функции равна $y'=\bigl(3-8\sin^2x\bigr)\sin2x$ На отрезке $[0,\pi]$ получаем следующую последовательность изменений:

• от $x=0$ до $x=\alpha$ функция возрастает от $0$ до
$\frac9{16}$ ;

• от $x=\alpha$ до $x=\frac{\pi}{2}$ функция убывает,
проходит через нуль при $x=\frac{\pi}{3}$ и достигает значения $-1$ ;

• от $x=\frac{\pi}{2}$ до $x=\pi-\alpha$ функция возрастает,
проходит через нуль при $x=\frac{2\pi}{3}$ и достигает значения
$\frac9{16}$ ;

• от $x=\pi-\alpha$ до $x=\pi$ функция убывает до нуля.
3
Построение графика
Строим описанную волну на $[0,\pi]$ , отражаем её
относительно оси $Oy$ и повторяем с периодом $\pi$ . Отмечаем все нули,
точки с ординатой $-1$ и точки с ординатой $\frac9{16}$ . $график к задаче Демидовича № 296$

Проверка

Ответ. Функция чётная, имеет период

\pi

и множество значений

\left[-1,\frac9{16}\right]