Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 296

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики тригонометрических функций:

Задача 296

y=sin⁡x⋅sin⁡3xy=\sin x\cdot\sin3x
ПостроениеФункция чётная, имеет период π\pi и множество значений
[−1,916]\left[-1,\frac9{16}\right].

Построение

Область определения функции совпадает со всей числовой прямой. Произведение
двух нечётных функций является чётной функцией:f(−x)=sin⁡(−x)sin⁡(−3x)=f(x)f(-x)=\sin(-x)\sin(-3x)=f(x)Кроме того,f(x+π)=(−sin⁡x)(−sin⁡3x)=f(x)f(x+\pi)=(-\sin x)(-\sin3x)=f(x)поэтому функция имеет период π\pi.

Нули произведения определяются равенствами sin⁡x=0\sin x=0 или sin⁡3x=0\sin3x=0.
Первая группа входит во вторую, поэтому все нули имеют видx=kπ3k∈Zx=\frac{k\pi}{3}\qquad k\in\mathbb ZИспользуем формулу синуса тройного угла и положим
u=sin⁡2xu=\sin^2x:y=sin⁡x(3sin⁡x−4sin⁡3x)=3u−4u2y=\sin x\bigl(3\sin x-4\sin^3x\bigr)=3u-4u^2На отрезке [0,π2]\left[0,\frac{\pi}{2}\right] величина u=sin⁡2xu=\sin^2x возрастает от 00 до 11 и принимает все значения
из отрезка [0,1][0,1]. Квадратичная функция
3u−4u23u-4u^2 принимает на отрезке [0,1][0,1] наибольшее значение приu=38u=\frac38и это значение равно3⋅38−4(38)2=9163\cdot\frac38-4\left(\frac38\right)^2=\frac9{16}Поскольку коэффициент при u2u^2 отрицателен, парабола направлена ветвями
вниз. Поэтому наименьшее значение на отрезке достигается в одном из его
концов. При u=0u=0 получаем 00, а при u=1u=1 получаем −1-1. Следовательно,E=[−1,916]E=\left[-1,\frac9{16}\right]
Для уточнения формы одной волны обозначимα=arcsin⁡38\alpha=\arcsin\sqrt{\frac38}Поскольку0<38<32=sin⁡π30<\sqrt{\frac38}<\frac{\sqrt3}{2}=\sin\frac{\pi}{3}а функция arcsin⁡t\arcsin t возрастает на [0,1][0,1], имеем
0<α<π30<\alpha<\frac{\pi}{3}. Направление изменения получаем из уже найденной подстановки:3u−4u2=916−4(u−38)2.3u-4u^2=\frac9{16}-4\left(u-\frac38\right)^2.На [0,π2][0,\frac{\pi}{2}] величина u=sin⁡2xu=\sin^2x возрастает от 00 до 11: до u=38u=\frac{3}{8} значение выражения увеличивается, после — уменьшается. На [π2,π][\frac{\pi}{2},\pi] величина uu проходит те же значения в обратном порядке.
На отрезке [0,π][0,\pi] получаем следующую последовательность изменений:

• от x=0x=0 до x=αx=\alpha функция возрастает от 00 до
916\frac9{16};

• от x=αx=\alpha до x=π2x=\frac{\pi}{2} функция убывает,
проходит через нуль при x=π3x=\frac{\pi}{3} и достигает значения −1-1;

• от x=π2x=\frac{\pi}{2} до x=π−αx=\pi-\alpha функция возрастает,
проходит через нуль при x=2π3x=\frac{2\pi}{3} и достигает значения
916\frac9{16};

• от x=π−αx=\pi-\alpha до x=πx=\pi функция убывает до нуля.

Построение графика

Строим описанную волну на [0,π][0,\pi], отражаем её
относительно оси OyOy и повторяем с периодом π\pi. Отмечаем все нули,
точки с ординатой −1-1 и точки с ординатой 916\frac9{16}.график к задаче Демидовича № 296
Демидович № 296 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика