Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 327

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 327

Построить графики функций:а) y=2+1−xб) y=1−e−x\text{а) }y=2+\sqrt{1-x}
\qquad
\text{б) }y=1-e^{-x}в) y=ln⁡(1+x)г) y=−arcsin⁡(1+x)д) y=3+2cos⁡3x\text{в) }y=\ln(1+x)
\qquad
\text{г) }y=-\arcsin(1+x)
\qquad
\text{д) }y=3+2\cos3x
Построениеа) D=(−∞,1]D=(-\infty,1], E=[2,+∞)E=[2,+\infty);
б) D=RD=\mathbb R, E=(−∞,1)E=(-\infty,1), асимптота y=1y=1;
в) D=(−1,+∞)D=(-1,+\infty), E=RE=\mathbb R, асимптота x=−1x=-1;
г) D=[−2,0]D=[-2,0], E=[−π2,π2]E=\left[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right];
д) D=RD=\mathbb R, E=[1,5]E=[1,5], T=2π3T=\dfrac{2\pi}{3}.

Построение

Пункт а)

Каждый график получим из графика соответствующей элементарной функции и
проверим его основные свойства.

Функция y=2+1−xy=2+\sqrt{1-x}.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:1−x⩾0⟺x⩽11-x\geqslant0
\quad\Longleftrightarrow\quad
x\leqslant1Поэтому область определения равна (−∞,1](-\infty,1]. Так как
1−x⩾0\sqrt{1-x}\geqslant0, множество значений равно [2,+∞)[2,+\infty).

График y=xy=\sqrt{x} сначала отражаем относительно оси OyOy, затем
переносим на 11 вправо и на 22 вверх. Его граничная точка имеет координаты
(1,2)(1,2). Для построения удобно положить 1−x=t21-x=t^2, где t⩾0t\geqslant0. Тогдаx=1−t2y=2+tx=1-t^2
\qquad
y=2+tНапример, при t=0,1,2,3t=0,1,2,3 получаем точки(1,2),(0,3),(−3,4),(−8,5)(1,2),\quad(0,3),\quad(-3,4),\quad(-8,5)При возрастании xx выражение 1−x1-x убывает; квадратный корень сохраняет порядок. Поэтому функция строго убывает.

Пункт б)

Функция y=1−e−xy=1-e^{-x}.

График y=exy=e^x отражаем относительно OyOy, затем относительно OxOx и
переносим на 11 вверх. Область определения равна R\mathbb R. Поскольку
e−x>0e^{-x}>0, имеем y<1y<1, а при x→−∞x\to-\infty значения функции
неограниченно убывают. Следовательно, множество значений равно
(−∞,1)(-\infty,1).

При x→+∞x\to+\infty получаем e−x→0e^{-x}\to0, поэтому прямая y=1y=1 является
горизонтальной асимптотой. При возрастании xx величина e−xe^{-x} убывает, поэтому 1−e−x1-e^{-x} возрастает. Функция строго возрастает на всей числовой прямой и проходит через точку
(0,0)(0,0).

Построение графика

В пункте а) отмечаем граничную точку (1,2)(1,2) и точки,
полученные при целых значениях параметра tt. В пункте б) отмечаем точку
(0,0)(0,0) и проводим горизонтальную асимптоту y=1y=1.

Пункт а)

y=2+1−xy=2+\sqrt{1-x}график к задаче Демидовича № 327

Пункт б)

y=1−e−xy=1-e^{-x}график к задаче Демидовича № 327

Пункт в)

Функция y=ln⁡(1+x)y=\ln(1+x).

Необходимо потребовать 1+x>01+x>0, откудаx>−1x>-1Область определения равна (−1,+∞)(-1,+\infty), множество значений равно
R\mathbb R. График y=ln⁡xy=\ln x переносим на 11 влево. Прямая x=−1x=-1
является вертикальной асимптотой, а точка пересечения с обеими осями равна
(0,0)(0,0).

Сдвиг логарифмического графика сохраняет его строгое возрастание.

Пункт г)

Функция y=−arcsin⁡(1+x)y=-\arcsin(1+x).

Аргумент арксинуса должен принадлежать отрезку [−1,1][-1,1]:−1⩽1+x⩽1⟺−2⩽x⩽0-1\leqslant1+x\leqslant1
\quad\Longleftrightarrow\quad
-2\leqslant x\leqslant0Следовательно, область определения равна [−2,0][-2,0]. Принятое значение
arcsin⁡u\arcsin u лежит в [−π2,π2]\left[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right], поэтому
множество значений данной функции совпадает с этим отрезком.

График y=arcsin⁡xy=\arcsin x переносим на 11 влево и отражаем относительно оси
OxOx. Характерные точки:(−2,π2),(−1,0),(0,−π2)\left(-2,\frac\pi2\right),
\qquad
(-1,0),
\qquad
\left(0,-\frac\pi2\right)Арксинус строго возрастает; сдвиг сохраняет это свойство, а смена знака превращает возрастание в убывание.

Построение графика

В пункте в) переносим логарифмическую кривую на 11
влево, проводим асимптоту x=−1x=-1 и отмечаем точку (0,0)(0,0). В пункте г)
соединяем три найденные характерные точки плавной убывающей кривой.

Пункт в)

y=ln⁡(1+x)y=\ln(1+x)график к задаче Демидовича № 327

Пункт г)

y=−arcsin⁡(1+x)y=-\arcsin(1+x)график к задаче Демидовича № 327

Пункт д)

Функция y=3+2cos⁡3xy=3+2\cos3x.

График y=cos⁡xy=\cos x сжимаем к оси OyOy в 33 раза, растягиваем вдоль оси
OyOy в 22 раза и переносим на 33 вверх. Область определения равна
R\mathbb R. Из неравенства −1⩽cos⁡3x⩽1-1\leqslant\cos3x\leqslant1 следует1⩽3+2cos⁡3x⩽51\leqslant3+2\cos3x\leqslant5Поэтому множество значений равно [1,5][1,5]. Наименьший положительный период
равенT=2π3T=\frac{2\pi}{3}Максимальное значение 55 достигается приx=2πk3k∈Zx=\frac{2\pi k}{3}
\qquad
k\in\mathbb ZМинимальное значение 11 достигается приx=(2k+1)π3k∈Zx=\frac{(2k+1)\pi}{3}
\qquad
k\in\mathbb ZПоскольку вся синусоида лежит выше оси OxOx, нулей у функции нет.

Построение графика

Проводим среднюю линию y=3y=3, отмечаем максимумы на
уровне y=5y=5 и минимумы на уровне y=1y=1, затем соединяем их косинусоидой
периода 2π3\dfrac{2\pi}{3}.график к задаче Демидовича № 327

Ответ

а) D=(−∞,1]D=(-\infty,1], E=[2,+∞)E=[2,+\infty);

Пункт б)

D=RD=\mathbb R, E=(−∞,1)E=(-\infty,1), асимптота y=1y=1;

Пункт в)

D=(−1,+∞)D=(-1,+\infty), E=RE=\mathbb R, асимптота x=−1x=-1;

Пункт г)

D=[−2,0]D=[-2,0], E=[−π2,π2]E=\left[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right];

Пункт д)

D=RD=\mathbb R, E=[1,5]E=[1,5], T=2π3T=\dfrac{2\pi}{3}.