Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 292

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики тригонометрических функций:

Задача 292

y=csc⁡xy=\operatorname{csc}x

Построение

По определениюcsc⁡x=1sin⁡x\operatorname{csc}x=\frac1{\sin x}поэтому из области определения исключаются все нули синуса:D=R∖{πk∣k∈Z}D=\mathbb R\setminus\{\pi k\mid k\in\mathbb Z\}Функция нечётная, а её наименьший положительный период равен 2π2\pi:csc⁡(−x)=−csc⁡xcsc⁡(x+2π)=csc⁡x\operatorname{csc}(-x)=-\operatorname{csc}x
\qquad
\operatorname{csc}(x+2\pi)=\operatorname{csc}xПри сдвиге на π\pi знак функции меняется:csc⁡(x+π)=−csc⁡x\operatorname{csc}(x+\pi)=-\operatorname{csc}xТак как ∣sin⁡x∣≤1|\sin x|\le1 и sin⁡x≠0\sin x\ne0 в области определения,∣csc⁡x∣=1∣sin⁡x∣≥1|\operatorname{csc}x|=\frac1{|\sin x|}\ge1Граничные значения достигаются приcsc⁡(π2+2πk)=1csc⁡(3π2+2πk)=−1\operatorname{csc}\left(\frac\pi2+2\pi k\right)=1
\qquad
\operatorname{csc}\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi k\right)=-1Следовательно,E=(−∞,−1]∪[1,+∞)E=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)Нулей у функции нет.

Все прямые x=πkx=\pi k являются вертикальными асимптотами.

На (0,π)(0,\pi) синус положителен и становится сколь угодно малым у обоих концов. Поэтому 1sin⁡x\frac1{\sin x} неограниченно растёт у каждого конца.

При k=0k=0 асимптота x=0x=0 совпадает с осью OyOy.
На промежутке (π,2π)(\pi,2\pi) функция отрицательна и стремится к
−∞-\infty у обоих концов.

На (0,π2](0,\frac{\pi}{2}] положительный синус возрастает, поэтому его обратная величина убывает. На [π2,π)[\frac{\pi}{2},\pi) синус убывает, а обратная величина возрастает. На следующем полупериоде используем смену знака: csc⁡(x+π)=−csc⁡x\operatorname{csc}(x+\pi)=-\operatorname{csc}x. Поэтому на (0,π)(0,\pi) функция убывает до значения 11 при
x=π2x=\dfrac\pi2, а затем возрастает. На (π,2π)(\pi,2\pi) она возрастает
до значения −1-1 при x=3π2x=\dfrac{3\pi}{2}, а затем убывает.

Построение графика

Проводим асимптоты x=πkx=\pi k. Между ними строим
чередующиеся положительные и отрицательные ветви. Отмечаем точки
(−3π2,1)\left(-\dfrac{3\pi}{2},1\right),
(−π2,−1)\left(-\dfrac\pi2,-1\right),
(π2,1)\left(\dfrac\pi2,1\right) и
(3π2,−1)\left(\dfrac{3\pi}{2},-1\right).график к задаче Демидовича № 292