Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 292

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики тригонометрических функций:

Задача 292

y=\operatorname{csc}x

Построение

Идея

По определению

\operatorname{csc}x=\frac1{\sin x}

поэтому из области определения исключаются все нули синуса:

D=\mathbb R\setminus\{\pi k\mid k\in\mathbb Z\}

Функция нечётная, а её наименьший положительный период равен

2\pi

\operatorname{csc}(-x)=-\operatorname{csc}x\qquad\operatorname{csc}(x+2\pi)=\operatorname{csc}x

При сдвиге на

\pi

знак функции меняется:

\operatorname{csc}(x+\pi)=-\operatorname{csc}x

1
Так как $|\sin x|\le1$ и $\sin x\ne0$ в области определения, $|\operatorname{csc}x|=\frac1{|\sin x|}\ge1$ Граничные значения достигаются при $\operatorname{csc}\left(\frac\pi2+2\pi k\right)=1\qquad\operatorname{csc}\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi k\right)=-1$ Следовательно, $E=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$ Нулей у функции нет.

Идея. Все прямые $x=\pi k$ являются вертикальными асимптотами. На
промежутке $(0,\pi)$ функция положительна и $\lim_{x\to0+}\operatorname{csc}x=+\infty\qquad\lim_{x\to\pi-}\operatorname{csc}x=+\infty$ При $k=0$ асимптота $x=0$ совпадает с осью $Oy$ .
На промежутке $(\pi,2\pi)$ функция отрицательна и стремится к
$-\infty$ у обоих концов.

Производная равна $(\operatorname{csc}x)'=-\operatorname{csc}x\operatorname{ctg}x$ Поэтому на $(0,\pi)$ функция убывает до значения $1$ при
$x=\dfrac\pi2$ , а затем возрастает. На $(\pi,2\pi)$ она возрастает
до значения $-1$ при $x=\dfrac{3\pi}{2}$ , а затем убывает.
2
Построение графика
Проводим асимптоты $x=\pi k$ . Между ними строим
чередующиеся положительные и отрицательные ветви. Отмечаем точки
$\left(-\dfrac{3\pi}{2},1\right)$ ,
$\left(-\dfrac\pi2,-1\right)$ ,
$\left(\dfrac\pi2,1\right)$ и
$\left(\dfrac{3\pi}{2},-1\right)$ . $график к задаче Демидовича № 292$