Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 333

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя правило сложения графиков, построить график функции

Задача 333

y=x+sin⁡xy=x+\sin x
ПостроениеФункция нечётна, строго возрастает на R\mathbb R, имеет
единственный нуль x=0x=0 и множество значений R\mathbb R.

Построение

Идея

Область определения равна R\mathbb R. Оба слагаемых нечётны, поэтому
сумма также нечётна. Производная равнаy′=1+cos⁡x=2cos⁡2x2⩾0y'=1+\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}\geqslant0Она обращается в нуль только в изолированных точках
x=(2k+1)πx=(2k+1)\pi. На любом промежутке положительной длины производная
положительна хотя бы на его части, поэтому функция строго возрастает на
всей числовой прямой. Отсюда её единственный нуль равен x=0x=0, а
множество значений равно R\mathbb R.
  1. 1
    График расположен в полосеx−1⩽y⩽x+1x-1\leqslant y\leqslant x+1и колеблется около прямой y=xy=x. Вторая производная имеет видy′′=−sin⁡xy''=-\sin xпоэтому точки x=kπx=k\pi являются точками перегиба. При нечётных kk
    касательная в точке перегиба горизонтальна.
  2. 2

    Построение графика

    Для каждого значения xx к ординате прямой y=xy=x
    прибавляем ординату синусоиды.график к задаче Демидовича № 333

Проверка

Ответ. Функция нечётна, строго возрастает на R\mathbb R, имеет
единственный нуль x=0x=0 и множество значений R\mathbb R.
Демидович № 333 — решение и ответ