Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 333

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя правило сложения графиков, построить график функции

Задача 333

y=x+sin⁡xy=x+\sin x
ПостроениеФункция нечётна, строго возрастает, имеет единственный нуль 00; график лежит между прямыми y=x−1y=x-1 и y=x+1y=x+1.

Построение

Прямая задаёт общий подъём, а синус — отклонение по вертикали не более единицы.
Складываем при каждом xx ординаты прямой и синусоиды. Функция определена на R\mathbb R и нечётна, поскольку оба слагаемых нечётны.
Из −1≤sin⁡x≤1-1\le\sin x\le1 получаем полосуx−1≤f(x)≤x+1.x-1\le f(x)\le x+1.График проходит через (kπ,kπ)(k\pi,k\pi). При x=π2+2πkx=\frac{\pi}{2}+2\pi k он достигает верхней границы полосы, а при x=−π2+2πkx=-\frac{\pi}{2}+2\pi k — нижней.
Докажем возрастание непосредственно. Для u<vu<v формула разности синусов и геометрическое неравенство ∣sin⁡t∣<∣t∣|\sin t|<|t| при t≠0t\ne0 дают∣sin⁡v−sin⁡u∣=2∣cos⁡u+v2sin⁡v−u2∣<v−u.|\sin v-\sin u|
=2\left|\cos\frac{u+v}2\sin\frac{v-u}2\right|<v-u.Следовательно,f(v)−f(u)=(v−u)+sin⁡v−sin⁡u≥(v−u)−∣sin⁡v−sin⁡u∣>0.f(v)-f(u)=(v-u)+\sin v-\sin u
\ge(v-u)-|\sin v-\sin u|>0.Функция строго возрастает, поэтому её единственный нуль — x=0x=0.
Повторять построение удобно с помощью равенстваf(x+2π)=f(x)+2π:f(x+2\pi)=f(x)+2\pi:каждый следующий фрагмент получается переносом предыдущего на вектор (2π,2π)(2\pi,2\pi).график к задаче Демидовича № 333
Демидович № 333 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика