Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 302

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики функций:

Задача 302

y=x(2+sin⁡1x)y=x\left(2+\sin\frac1x\right)
ПостроениеОбласть определения — R∖{0}\mathbb R\setminus\{0\}. График находится между прямыми y=xy=x и y=3xy=3x, подходит к выколотой точке (0,0)(0,0) и на обоих удалённых участках приближается к прямой y=2x+1y=2x+1.

Построение

Область определения равнаD=R∖{0}D=\mathbb R\setminus\{0\}Поскольку1⩽2+sin⁡1x⩽31\leqslant2+\sin\frac1x\leqslant3второй множитель всегда положителен. Поэтому при x>0x>0 функция положительна,
а при x<0x<0 отрицательна. Нулей в области определения нет.

При x>0x>0 умножение неравенства на xx даётx⩽y⩽3xx\leqslant y\leqslant3xа при x<0x<0 знаки неравенств меняются:3x⩽y⩽x3x\leqslant y\leqslant xТаким образом, весь график расположен между прямыми y=xy=x и y=3xy=3x.

Из ∣y∣≤3∣x∣|y|\leq3|x| видно, что график подходит к выколотой точке (0,0)(0,0): если 0<∣x∣<ε30<|x|<\frac{\varepsilon}{3}, то ∣y∣<ε|y|<\varepsilon. Колебания около нуля остаются между прямыми y=xy=x и y=3xy=3x.

Для удалённых участков найдём более точную направляющую. Нам понадобится геометрическая оценка. В единичной окружности площадь вписанного треугольника не больше площади сектора, а та не больше площади треугольника, ограниченного касательной. При 0<t<π20<t<\frac{\pi}{2} эти площади равны соответственно 12sin⁡t\frac12\sin t, 12t\frac12t и 12tg⁡t\frac12\operatorname{tg}t. Поэтомуsin⁡t≤t≤tg⁡t,cos⁡t≤sin⁡tt≤1.\sin t\leq t\leq\operatorname{tg}t,
\qquad \cos t\leq\frac{\sin t}{t}\leq1.Кроме того, 1−cos⁡t=2sin⁡2(t2)≤t221-\cos t=2\sin^2(\frac{t}{2})\leq \frac{t^2}{2} по оценке №217. Получаем0≤1−sin⁡tt≤t22.0\leq1-\frac{\sin t}{t}\leq\frac{t^2}{2}.Отношение sin⁡tt\frac{\sin t}{t} чётно, поэтому оценка верна и при −π2<t<0-\frac{\pi}{2}<t<0.

Теперь положим t=1xt=\frac{1}{x}. Для ∣x∣>2π|x|>\frac{2}{\pi} имеем∣y−(2x+1)∣=∣sin⁡(1x)1x−1∣≤12x2.|y-(2x+1)|=\left|\frac{\sin(\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}-1\right|\leq\frac1{2x^2}.Расстояние по вертикали до прямой y=2x+1y=2x+1 становится сколь угодно малым. Поэтому эта прямая служит наклонной асимптотой обоих удалённых участков графика.
Для опорных точек удобно выбирать 1x\frac{1}{x} равным простым углам. Например,f(2π)=6π,f(−2π)=−2π,f(1π)=2π,f(−1π)=−2π.f(\frac{2}{\pi})=\frac{6}{\pi},\quad f(-\frac{2}{\pi})=-\frac{2}{\pi},\quad
f(\frac{1}{\pi})=\frac{2}{\pi},\quad f(-\frac{1}{\pi})=-\frac{2}{\pi}.Эти точки вместе с ограничивающими прямыми показывают направление и размах первых колебаний.

Построение графика

Проводим прямые y=xy=x и y=3xy=3x, между которыми заключён
график, а также наклонную асимптоту y=2x+1y=2x+1. Около начала координат строим
сгущающиеся колебания и показываем выколотую точку (0,0)(0,0). Вертикальный
масштаб рисунка выбран отдельно от горизонтального, чтобы колебания были
различимы.график к задаче Демидовича № 302
Демидович № 302 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика