Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 302

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики функций:

Задача 302

y=x\left(2+\sin\frac1x\right)

Построение

D=E=\mathbb R\setminus\{0\}

; при

x=0

имеется устранимый
разрыв, а при

x\to\pm\infty

график приближается к прямой

y=2x+1

Построение

Идея

Область определения равна

D=\mathbb R\setminus\{0\}

Поскольку

1\leqslant2+\sin\frac1x\leqslant3

второй множитель всегда положителен. Поэтому при

x>0

функция положительна,
а при

x<0

отрицательна. Нулей в области определения нет.

1
При $x>0$ умножение неравенства на $x$ даёт $x\leqslant y\leqslant3x$ а при $x<0$ знаки неравенств меняются: $3x\leqslant y\leqslant x$ Таким образом, весь график расположен между прямыми $y=x$ и $y=3x$ .

Идея. Из оценки $|y|\leqslant3|x|$ следует $\lim_{x\to0}x\left(2+\sin\frac1x\right)=0$ Точка $x=0$ не входит в область определения, поэтому в начале координат
имеется устранимый разрыв. При приближении к нулю график бесконечно много
раз колеблется между двумя найденными прямыми и стягивается к выколотой
точке $(0,0)$ .

Исследуем поведение при $|x|\to\infty$ : $\begin{aligned}y-(2x+1)&=x\sin\frac1x-1=\\&=\frac{\sin\frac1x}{\frac1x}-1\longrightarrow0\end{aligned}$ Следовательно, прямая $y=2x+1$ является наклонной асимптотой при $x\to\pm\infty$ .
2
На каждом из промежутков $(-\infty,0)$ и $(0,+\infty)$ функция непрерывна.
На положительной полуоси её значения изменяются от сколь угодно малых
положительных до сколь угодно больших положительных значений. На отрицательной
полуоси аналогично принимаются все отрицательные значения. Поэтому $E=\mathbb R\setminus\{0\}$
3
Построение графика
Проводим прямые $y=x$ и $y=3x$ , между которыми заключён
график, а также наклонную асимптоту $y=2x+1$ . Около начала координат строим
сгущающиеся колебания и показываем выколотую точку $(0,0)$ . Вертикальный
масштаб рисунка выбран отдельно от горизонтального, чтобы колебания были
различимы. $график к задаче Демидовича № 302$

Проверка

Ответ.

D=E=\mathbb R\setminus\{0\}

; при

x=0

имеется устранимый
разрыв, а при

x\to\pm\infty

график приближается к прямой

y=2x+1