Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 303

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики функций:

Задача 303

y=±1−x2sin⁡πxy=\pm\sqrt{1-x^2}\sin\frac\pi x
ПостроениеОбласть определения равна [−1,0)∪(0,1][-1,0)\cup(0,1], множество значений
каждой функции равно (−1,1)(-1,1); около x=0x=0 графики бесконечно колеблются и
предела не имеют.

Построение

Идея

Квадратный корень существует при 1−x2⩾01-x^2\geqslant0, а дробь πx\frac\pi x
требует x≠0x\ne0. Поэтому область определения обеих функций равнаD=[−1,0)∪(0,1]D=[-1,0)\cup(0,1]
  1. 1
    Рассмотрим сначала функциюf(x)=1−x2sin⁡πxf(x)=\sqrt{1-x^2}\sin\frac\pi xПервый множитель чётный, а второй нечётный, поэтому ff нечётна. Вторая
    функция равна −f(x)-f(x). Следовательно, вся изображаемая кривая симметрична
    относительно обеих координатных осей.

    Поскольку∣1−x2sin⁡πx∣⩽1−x2\left|\sqrt{1-x^2}\sin\frac\pi x\right|
    \leqslant\sqrt{1-x^2}    графики заключены между полуокружностямиy=±1−x2y=\pm\sqrt{1-x^2}Равенства y=1y=1 и y=−1y=-1 невозможны: значение 1−x2=1\sqrt{1-x^2}=1 получается
    только при исключённом x=0x=0. В то же время около нуля амплитуда колебаний
    стремится к 11.

    Нули обеих функций имеют видx=1k,k∈Z∖{0}x=\frac1k,
    \qquad
    k\in\mathbb Z\setminus\{0\}    Точки x=±1x=\pm1 входят в эту формулу и принадлежат области определения.
    Точка x=0x=0 нулём не является.

    При x→0x\to0 предела нет. Например, для последовательностейxn=24n+1,zn=24n+3x_n=\frac{2}{4n+1},
    \qquad
    z_n=\frac{2}{4n+3}    имеемf(xn)=1−xn2⟶1f(x_n)=\sqrt{1-x_n^2}\longrightarrow1иf(zn)=−1−zn2⟶−1f(z_n)=-\sqrt{1-z_n^2}\longrightarrow-1Для любого a∈(−1,1)a\in(-1,1) можно выбрать достаточно большое nn, чтобы
    f(zn)<a<f(xn)f(z_n)<a<f(x_n). На отрезке [zn,xn][z_n,x_n] функция непрерывна, поэтому по
    теореме о промежуточных значениях она принимает значение aa. Вторая функция
    равна −f-f, следовательно, для каждой из двух функцийE=(−1,1)E=(-1,1)Поэтому около оси OyOy располагается бесконечно много колебаний. В точках
    x=±1x=\pm1 обе функции равны нулю.
  2. 2

    Построение графика

    Сначала проводим пунктирные полуокружности
    y=±1−x2y=\pm\sqrt{1-x^2}. Внутри них строим две колеблющиеся кривые. На рисунке
    отмечаем концы x=±1x=\pm1 и несколько нулей
    x=±12,±13,±14x=\pm\frac12,\pm\frac13,\pm\frac14. В точке x=0x=0 графика нет.график к задаче Демидовича № 303

Проверка

Ответ. Область определения равна [−1,0)∪(0,1][-1,0)\cup(0,1], множество значений
каждой функции равно (−1,1)(-1,1); около x=0x=0 графики бесконечно колеблются и
предела не имеют.
Демидович № 303 — решение и ответ