Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 303

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики функций:

y=\pm\sqrt{1-x^2}\sin\frac\pi x

ПостроениеОбласть определения —

[-1,0)\cup(0,1]

. Обе кривые заключены между полуокружностями

y=\pm\sqrt{1-x^2}

, имеют нули

x=\frac{1}{k}

k\in\mathbb Z\setminus\{0\}

, и бесконечно колеблются около оси

Oy

Построение

Квадратный корень существует при

1-x^2\geqslant0

, а дробь

\frac\pi x

требует

x\ne0

. Поэтому область определения обеих функций равна

D=[-1,0)\cup(0,1]

Рассмотрим сначала функцию

f(x)=\sqrt{1-x^2}\sin\frac\pi x

Первый множитель чётный, а второй нечётный, поэтому

f

нечётна. Вторая
функция равна

-f(x)

. Следовательно, вся изображаемая кривая симметрична
относительно обеих координатных осей.

Поскольку

\left|\sqrt{1-x^2}\sin\frac\pi x\right|\leqslant\sqrt{1-x^2}

графики заключены между полуокружностями

y=\pm\sqrt{1-x^2}

Равенства

y=1

y=-1

невозможны: значение

\sqrt{1-x^2}=1

получается
только при исключённом

x=0

. В то же время около нуля амплитуда колебаний
стремится к

1

.

Нули обеих функций имеют вид

x=\frac1k,\qquadk\in\mathbb Z\setminus\{0\}

Точки

x=\pm1

входят в эту формулу и принадлежат области определения.
Точка

x=0

нулём не является.

При

x\to0

предела нет. Например, для последовательностей

x_n=\frac{2}{4n+1},\qquadz_n=\frac{2}{4n+3}

имеем

f(x_n)=\sqrt{1-x_n^2}\longrightarrow1

f(z_n)=-\sqrt{1-z_n^2}\longrightarrow-1

Весь график лежит строго между уровнями

-1

1

, но отмеченные значения подходят к ним сколь угодно близко.
Поэтому около оси

Oy

располагается бесконечно много колебаний. В точках

x=\pm1

обе функции равны нулю.

Сначала проводим пунктирные полуокружности

y=\pm\sqrt{1-x^2}

. Внутри них строим две колеблющиеся кривые. На рисунке
отмечаем концы

x=\pm1

и несколько нулей

x=\pm\frac12,\pm\frac13,\pm\frac14

. В точке

x=0

графика нет. график к задаче Демидовича № 303