Раздел I. Введение в анализ — § 4

Демидович § 4. Графическое изображение функции

Условия, ответы и подробные решения задач 237–380

Задачи 237–380

148 из 148 с разбором

Преобразования и построение сложных графиков

325–350
Применяя правило сложения графиков, построить график функции

Задача 336

y=sin⁡x−13sin⁡3x+15sin⁡5xy=\sin x-\frac13\sin3x+\frac15\sin5x

Задача 337

y=sin⁡4x+cos⁡4xy=\sin^4x+\cos^4x

Задача 338

y=∣1−x∣+∣1+x∣y=|1-x|+|1+x|

Задача 339

y=∣1−x∣−∣1+x∣y=|1-x|-|1+x|

Задача 340

Построить графики гиперболических функций:а) y=ch⁡xch⁡x=12(ex+e−x)\text{а) }y=\operatorname{ch}x
\quad
\operatorname{ch}x=\frac12(e^x+e^{-x})б) y=sh⁡xsh⁡x=12(ex−e−x)\text{б) }y=\operatorname{sh}x
\quad
\operatorname{sh}x=\frac12(e^x-e^{-x})в) y=th⁡xth⁡x=sh⁡xch⁡x\text{в) }y=\operatorname{th}x
\quad
\operatorname{th}x=\frac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x}
Применяя правило умножения графиков, построить график функции

Задача 341

y=xsin⁡xy=x\sin x

Задача 342

y=xcos⁡xy=x\cos x

Задача 343

y=x2sin⁡2xy=x^2\sin^2x

Задача 344

y=sin⁡x1+x2y=\frac{\sin x}{1+x^2}

Задача 345

y=e−x2cos⁡2xy=e^{-x^2}\cos2x

Задача 346

y=xsgn⁡(sin⁡x)y=x\operatorname{sgn}(\sin x)

Задача 347

y=[x]∣sin⁡πx∣y=[x]|\sin\pi x|

Задача 348

y=cos⁡x⋅sgn⁡(sin⁡x)y=\cos x\cdot\operatorname{sgn}(\sin x)

Задача 349

Пустьf(x)={1−∣x∣,∣x∣⩽10,∣x∣>1f(x)=
\begin{cases}
1-|x|,&|x|\leqslant1\\[1mm]
0,&|x|>1
\end{cases}Построить график функцииy=f(x)f(a−x)y=f(x)f(a-x)если: а) a=0a=0; б) a=1a=1; в) a=2a=2.

Задача 350

Построить график функцииy=x+xsgn⁡(sin⁡πx)y=x+\sqrt{x}\operatorname{sgn}(\sin\pi x)

Графики функций вида 1/f(x)

351–355
Построить графики функций y=1f(x)y=\dfrac1{f(x)}, если

Задача 351

f(x)=x2(1−x2)f(x)=x^2(1-x^2)

Задача 352

f(x)=x(1−x)2f(x)=x(1-x)^2

Задача 353

f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin^2x

Задача 354

f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x

Задача 355

f(x)=exsin⁡xf(x)=e^x\sin x

Композиции, продолжения и свойства графиков

356–367

Задача 356

Построить график сложной функцииy=f(u)y=f(u)где u=2sin⁡xu=2\sin x, еслиf(u)={−1,−∞<u<−1u,−1⩽u⩽11,1<u<+∞f(u)=
\begin{cases}
-1, & -\infty<u<-1\\
u, & -1\leqslant u\leqslant1\\
1, & 1<u<+\infty
\end{cases}

Задача 357

Пустьφ(x)=12(x+∣x∣)ψ(x)={x,x<0x2,x⩾0\varphi(x)=\frac12(x+|x|)
\qquad
\psi(x)=
\begin{cases}
x, & x<0\\
x^2, & x\geqslant0
\end{cases}Построить графики функций:а) y=φ[φ(x)]б) y=φ[ψ(x)]\text{а) }y=\varphi[\varphi(x)]
\qquad
\text{б) }y=\varphi[\psi(x)]в) y=ψ[φ(x)]г) y=ψ[ψ(x)]\text{в) }y=\psi[\varphi(x)]
\qquad
\text{г) }y=\psi[\psi(x)]

Задача 358

Пустьφ(x)={1,∣x∣⩽10,∣x∣>1ψ(x)={2−x2,∣x∣⩽22,∣x∣>2\varphi(x)=
\begin{cases}
1, & |x|\leqslant1\\
0, & |x|>1
\end{cases}
\qquad
\psi(x)=
\begin{cases}
2-x^2, & |x|\leqslant2\\
2, & |x|>2
\end{cases}Построить графики функций:а) y=φ[φ(x)]б) y=φ[ψ(x)]\text{а) }y=\varphi[\varphi(x)]
\qquad
\text{б) }y=\varphi[\psi(x)]в) y=ψ[φ(x)]г) y=ψ[ψ(x)]\text{в) }y=\psi[\varphi(x)]
\qquad
\text{г) }y=\psi[\psi(x)]

Задача 359

Функцию f(x)f(x), определённую в положительной области x>0x>0,
продолжить в отрицательную область x<0x<0 таким образом, чтобы
полученная функция была: 1) чётной; 2) нечётной, если:а) f(x)=1−xб) f(x)=2x−x2в) f(x)=x\text{а) }f(x)=1-x
\quad
\text{б) }f(x)=2x-x^2
\quad
\text{в) }f(x)=\sqrt{x}г) f(x)=sin⁡xд) f(x)=exе) f(x)=ln⁡x\text{г) }f(x)=\sin x
\quad
\text{д) }f(x)=e^x
\quad
\text{е) }f(x)=\ln xПостроить соответствующие графики функций.

Задача 360

Определить, относительно каких вертикальных осей симметричны графики
функций:а) y=ax2+bx+cб) y=1x2+1(1−x)2\text{а) }y=ax^2+bx+c
\qquad
\text{б) }y=\frac1{x^2}+\frac1{(1-x)^2}в) y=a+x+b−x(0<a<b)г) y=a+bcos⁡x\text{в) }y=\sqrt{a+x}+\sqrt{b-x}\quad(0<a<b)
\qquad
\text{г) }y=a+b\cos x

Задача 361

Определить точки, относительно которых симметричны графики функций:а) y=ax+bб) y=ax+bcx+d\text{а) }y=ax+b
\qquad
\text{б) }y=\frac{ax+b}{cx+d}в) y=ax3+bx2+cx+d\text{в) }y=ax^3+bx^2+cx+dг) y=1x−1+1x−2+1x−3д) y=1+x−23\text{г) }y=\frac1{x-1}+\frac1{x-2}+\frac1{x-3}
\qquad
\text{д) }y=1+\sqrt[3]{x-2}

Задача 362

Построить графики периодических функций:а) y=∣sin⁡x∣б) y=sgn⁡cos⁡x\text{а) }y=|\sin x|
\qquad
\text{б) }y=\operatorname{sgn}\cos xв) y=f(x),f(x)=Axl(2−xl) при 0⩽x⩽2l,f(x+2l)=f(x)\text{в) }y=f(x),\quad
f(x)=A\frac xl\left(2-\frac xl\right)
\text{ при }0\leqslant x\leqslant2l,
\quad f(x+2l)=f(x)г) y=[x]−2[x2]\text{г) }y=[x]-2\left[\frac x2\right]д) y=(x)\text{д) }y=(x)где (x)(x) — расстояние от числа xx до ближайшего к нему целого
числа.

Задача 363

Доказать, что если график функции y=f(x)y=f(x)
(−∞<x<+∞)(-\infty<x<+\infty) имеет две оси симметрии x=ax=a и x=bx=b
(b>a)(b>a), то функция f(x)f(x) — периодическая.

Задача 364

Доказать, что если график функции y=f(x)y=f(x)
(−∞<x<+∞)(-\infty<x<+\infty) симметричен относительно двух точек
A(a,y0)A(a,y_0) и B(b,y1)B(b,y_1) (b>a)(b>a), то функция f(x)f(x) есть сумма
линейной функции и периодической функции. В частности, если
y0=y1y_0=y_1, то функция f(x)f(x) периодическая.

Задача 365

Доказать, что если график функции y=f(x)y=f(x)
(−∞<x<+∞)(-\infty<x<+\infty) симметричен относительно точки A(a,y0)A(a,y_0) и
прямой x=bx=b (b≠a)(b\ne a), то функция f(x)f(x) периодическая.
Построить график функции y=f(x)y=f(x) (−∞<x<+∞)(-\infty<x<+\infty), если

Задача 366

f(x+1)=2f(x),f(x)=x(1−x) при 0⩽x⩽1f(x+1)=2f(x),
\qquad
f(x)=x(1-x)\text{ при }0\leqslant x\leqslant1

Задача 367

f(x+π)=f(x)+sin⁡xиf(x)=0 при 0⩽x⩽πf(x+\pi)=f(x)+\sin x
\qquad\text{и}\qquad
f(x)=0\text{ при }0\leqslant x\leqslant\pi

Задание кривых и графические решения

368–380

Задача 368

Построить график функции y=y(x)y=y(x), если:а) x=y−y3б) x=1−y1+y2\text{а) }x=y-y^3
\qquad
\text{б) }x=\frac{1-y}{1+y^2}в) x=y−ln⁡yг) x2=sin⁡y\text{в) }x=y-\ln y
\qquad
\text{г) }x^2=\sin y

Задача 369

Построить графики функций y=y(x)y=y(x), заданных параметрически, если:а) x=1−t,y=1−t2;\text{а) }x=1-t,\quad y=1-t^2;б) x=t+1t,y=t+1t2;\text{б) }x=t+\frac1t,\quad y=t+\frac1{t^2};в) x=10cos⁡t,y=sin⁡t(эллипс);\text{в) }x=10\cos t,\quad y=\sin t\quad(\text{эллипс});г) x=ch⁡t,y=sh⁡t(гипербола);\text{г) }x=\operatorname{ch}t,\quad
y=\operatorname{sh}t\quad(\text{гипербола});д) x=5cos⁡2t,y=3sin⁡2t;\text{д) }x=5\cos^2t,\quad y=3\sin^2t;е) x=2(t−sin⁡t),y=2(1−cos⁡t)(циклоида);\text{е) }x=2(t-\sin t),\quad
y=2(1-\cos t)\quad(\text{циклоида});ж) x=tt+1,y=t+1t(t>0)\text{ж) }x=\sqrt[t+1]{t},\quad
y=\sqrt[t]{t+1}\qquad(t>0)
Построить графики неявных функций:

Задача 370.1

а) x2−xy+y2=1(эллипс);\text{а) }x^2-xy+y^2=1\quad(\text{эллипс});б) x3+y3−3xy=0(декартов лист);\text{б) }x^3+y^3-3xy=0\quad(\text{декартов лист});в) x+y=1(парабола);\text{в) }\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\quad(\text{парабола});г) x23+y23=4(астроида);\text{г) }x^{\frac23}+y^{\frac23}=4\quad(\text{астроида});д) sin⁡x=sin⁡y;е) cos⁡(πx2)=cos⁡(πy);\text{д) }\sin x=\sin y;
\qquad
\text{е) }\cos(\pi x^2)=\cos(\pi y);ж) xy=yx(x>0,y>0);з) x−∣x∣=y−∣y∣\text{ж) }x^y=y^x\quad(x>0,y>0);
\qquad
\text{з) }x-|x|=y-|y|

Задача 370.2

а) min⁡(x,y)=1;б) max⁡(x,y)=1;\text{а) }\min(x,y)=1;
\qquad
\text{б) }\max(x,y)=1;в) max⁡(∣x∣,∣y∣)=1;г) min⁡(x2,y)=1\text{в) }\max(|x|,|y|)=1;
\qquad
\text{г) }\min(x^2,y)=1

Задача 371.1

Построить графики функций в полярной системе координат
(r,φ)(r,\varphi):а) r=φ(спираль Архимеда);\text{а) }r=\varphi\quad(\text{спираль Архимеда});б) r=πφ(гиперболическая спираль);\text{б) }r=\frac\pi\varphi
\quad(\text{гиперболическая спираль});в) r=φφ+1(0⩽φ<+∞);\text{в) }r=\frac\varphi{\varphi+1}
\quad(0\leqslant\varphi<+\infty);г) r=2φ2π(логарифмическая спираль);\text{г) }r=2^{\frac{\varphi}{2\pi}}
\quad(\text{логарифмическая спираль});д) r=2(1+cos⁡φ)(кардиоида);\text{д) }r=2(1+\cos\varphi)
\quad(\text{кардиоида});е) r=10sin⁡3φ(трёхлепестковая роза);\text{е) }r=10\sin3\varphi
\quad(\text{трёхлепестковая роза});ж) r2=36cos⁡2φ(лемниската Бернулли);\text{ж) }r^2=36\cos2\varphi
\quad(\text{лемниската Бернулли});з) φ=rr−1(r>1);и) φ=2πsin⁡r.\text{з) }\varphi=\frac r{r-1}\quad(r>1);
\qquad
\text{и) }\varphi=2\pi\sin r.

Задача 371.2

Построить в полярных координатах rr и φ\varphi графики следующих
функций:а) φ=4r−r2;б) φ=12r1+r2;в) r2+φ2=100.\text{а) }\varphi=4r-r^2;
\qquad
\text{б) }\varphi=\frac{12r}{1+r^2};
\qquad
\text{в) }r^2+\varphi^2=100.

Задача 371.3

Построить в полярных координатах rr и φ\varphi графики функций,
заданных параметрически при t>0t>0:а) {φ=tcos⁡2t,r=tsin⁡2tб) {φ=1−2−tsin⁡πt2,r=1−2−tcos⁡πt2\text{а) }
\begin{cases}
\varphi=t\cos^2t,\\
r=t\sin^2t
\end{cases}
\qquad
\text{б) }
\begin{cases}
\varphi=1-2^{-t}\sin\dfrac{\pi t}{2},\\[1mm]
r=1-2^{-t}\cos\dfrac{\pi t}{2}
\end{cases}

Задача 372

Приближённо решить уравнениеx3−3x+1=0x^3-3x+1=0построив график функции y=x3−3x+1y=x^3-3x+1.
Графически решить уравнение

Задача 373

x3−4x−1=0x^3-4x-1=0

Задача 374

x4−4x+1=0x^4-4x+1=0

Задача 375

x=2−xx=2^{-x}

Задача 376

lg⁡x=0,1x\lg x=0{,}1x

Задача 377

10x=x210^x=x^2

Задача 378

tg⁡x=x0⩽x⩽2π\operatorname{tg}x=x
\qquad
0\leqslant x\leqslant2\pi
Графически решить систему

Задача 379

{x+y2=1,16x2+y=4\begin{cases}
x+y^2=1,\\
16x^2+y=4
\end{cases}

Задача 380

{x2+y2=100,y=10(x2−x−2)\begin{cases}
x^2+y^2=100,\\
y=10(x^2-x-2)
\end{cases}

Задачи 101–148 из 148