Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 310

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики функций:

Задача 310

y=e1sin⁡xy=e^{\frac{1}{\sin x}}
ПостроениеФункция имеет период 2π2\pi, вертикальные асимптоты
x=kπx=k\pi и множество значений (0,e−1]∪[e,+∞)(0,e^{-1}]\cup[e,+\infty).

Построение

Идея

Знаменатель показателя не должен обращаться в нуль, поэтомуD=R∖{kπ∣k∈Z}D=\mathbb R\setminus\{k\pi\mid k\in\mathbb Z\}Функция положительна и имеет период 2π2\pi. Число π\pi периодом не
является, посколькуf(x+π)=e−1sin⁡x≠f(x)f(x+\pi)=e^{-\frac1{\sin x}}\ne f(x)
  1. 1
    На промежутках (2πk,(2k+1)π)(2\pi k,(2k+1)\pi) синус положителен. Здесь
    0<sin⁡x⩽10<\sin x\leqslant1, поэтому1sin⁡x⩾1⟹y⩾e\frac1{\sin x}\geqslant1
    \qquad\Longrightarrow\qquad
    y\geqslant e    При приближении к обоим концам такого промежутка функция стремится к
    +∞+\infty, а в его середине принимает наименьшее значение ee.

    На промежутках ((2k−1)π,2πk)((2k-1)\pi,2\pi k) синус отрицателен. Здесь1sin⁡x⩽−1⟹0<y⩽e−1\frac1{\sin x}\leqslant-1
    \qquad\Longrightarrow\qquad
    0<y\leqslant e^{-1}    При приближении к концам изнутри этого промежутка функция стремится к
    нулю, а в середине принимает наибольшее значение e−1e^{-1}.
  2. 2
    Следовательно, у каждой точки x=kπx=k\pi один односторонний предел равен
    +∞+\infty, а другой равен 00. Поэтому прямые x=kπx=k\pi являются
    вертикальными асимптотами. При k=0k=0 асимптота x=0x=0 совпадает с осью
    OyOy. Множество значений равноE=(0,e−1]∪[e,+∞)E=(0,e^{-1}]\cup[e,+\infty)Идея. Производная равнаy′=−e1sin⁡xcos⁡xsin⁡2xy'=-e^{\frac1{\sin x}}\frac{\cos x}{\sin^2x}Она обращается в нуль приx=π2+πkx=\frac{\pi}{2}+\pi kчто подтверждает описанные минимумы верхних ветвей и максимумы нижних.
  3. 3

    Построение графика

    Проводим асимптоты x=kπx=k\pi. На промежутках с
    положительным синусом строим U-образные ветви выше уровня y=ey=e; на
    промежутках с отрицательным синусом — невысокие дуги между осью OxOx
    и уровнем y=e−1y=e^{-1}. Для нижних ветвей точки (kπ,0)(k\pi,0) являются
    выколотыми предельными точками. Одновременно прямая x=kπx=k\pi является
    вертикальной асимптотой для соседней верхней ветви.график к задаче Демидовича № 310

Проверка

Ответ. Функция имеет период 2π2\pi, вертикальные асимптоты
x=kπx=k\pi и множество значений (0,e−1]∪[e,+∞)(0,e^{-1}]\cup[e,+\infty).
Демидович № 310 — решение и ответ