Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 334

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя правило сложения графиков, построить график функции

y=x+\operatorname{arctg}x

ПостроениеФункция нечётна, строго возрастает на

\mathbb R

, имеет
единственный нуль

x=0

и линейные асимптоты

y=x\pm\frac{\pi}{2}

на соответствующих бесконечностях.

Построение

Оба слагаемых определены на

\mathbb R

, нечётны и строго возрастают. Поэтому их сумма нечётна и строго возрастает: при

u<v

обе разности

v-u

\operatorname{arctg}v-\operatorname{arctg}u

положительны. Из

f(0)=0

следует, что других нулей нет.

Опорные точки получаем подстановкой

x=-1,0,1

\left(-1,-1-\frac\pi4\right),\quad(0,0),\quad\left(1,1+\frac\pi4\right).

Здесь использованы

\operatorname{arctg}1=\frac{\pi}{4}

и нечётность арктангенса.

Разность

y-x

равна арктангенсу и при движении вправо приближается к

\frac{\pi}{2}

. Поэтому расстояние по вертикали от графика до прямой

y=x+\frac{\pi}{2}

становится сколь угодно малым.

При движении влево та же разность близка к

-\frac{\pi}{2}

, поэтому график приближается к прямой

y=x-\frac{\pi}{2}

.

Поэтому прямые

y=x+\frac{\pi}{2}

y=x-\frac{\pi}{2}

являются соответственно
правой и левой линейными асимптотами.

Складываем ординаты прямой

y=x

и графика

y=\operatorname{arctg}x

. Пунктирными серыми линиями показаны две
линейные асимптоты. график к задаче Демидовича № 334