Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 334

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя правило сложения графиков, построить график функции

y=x+\operatorname{arctg}x

ПостроениеФункция нечётна, строго возрастает на

\mathbb R

, имеет
единственный нуль

x=0

и линейные асимптоты

y=x\pm\pi/2

на соответствующих бесконечностях.

Построение

Идея

Область определения равна

\mathbb R

. Сумма двух нечётных функций
нечётна. Производная положительна:

y'=1+\frac1{1+x^2}>0

Поэтому функция строго возрастает, её единственный нуль равен

x=0

, а
множество значений равно

\mathbb R

1
Вторая производная имеет вид $y''=-\frac{2x}{(1+x^2)^2}$ Следовательно, график выпуклый вниз при $x<0$ , выпуклый вверх при $x>0$
и имеет точку перегиба $(0,0)$ .
2
Из пределов арктангенса получаем $\lim_{x\to+\infty}\bigl(y-x\bigr)=\frac{\pi}{2}$ $\lim_{x\to-\infty}\bigl(y-x\bigr)=-\frac{\pi}{2}$ Поэтому прямые $y=x+\pi/2$ и $y=x-\pi/2$ являются соответственно
правой и левой линейными асимптотами.
3
Построение графика
Складываем ординаты прямой $y=x$ и графика
$y=\operatorname{arctg}x$ . Пунктирными серыми линиями показаны две
линейные асимптоты. $график к задаче Демидовича № 334$

Проверка

Ответ. Функция нечётна, строго возрастает на

\mathbb R

, имеет
единственный нуль

x=0

и линейные асимптоты

y=x\pm\pi/2

на соответствующих бесконечностях.