Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 321

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики обратных круговых функций:

y=\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}x)

ПостроениеФункция имеет период

\pi

, множество значений

\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)

и скачки в точках

x=\frac{\pi}{2}+\pi k

Построение

Тангенс не определён при

x=\frac{\pi}{2}+\pi k\qquadk\in\mathbb Z

поэтому эти точки не входят в область определения. Функция

\operatorname{arctg}t

является обратной к тангенсу на промежутке

\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)

. Следовательно, на каждом
промежутке между соседними исключёнными точками

\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}x)=x-\pi k,\qquad-\frac{\pi}{2}+\pi k<x<\frac{\pi}{2}+\pi k

Итак,

D=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+\pi k\mid k\in\mathbb Z\right\}

а множество значений равно

E=\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)

Функция нечётная и имеет наименьший положительный период

\pi

.

Каждый участок задан линейной формулой. Подстановка в неё правого конца даёт ординату

\frac{\pi}{2}

, а подстановка левого конца следующего участка —

-\frac{\pi}{2}

. Обе крайние точки при одной абсциссе

\frac{\pi}{2}+\pi k

выколоты.

Поэтому там возникают скачки, а не вертикальные асимптоты.

На каждом промежутке области определения строим
открытый отрезок прямой с угловым коэффициентом

1

. В точках разрыва
отмечаем по две выколотые крайние точки. график к задаче Демидовича № 321