Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 321

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики обратных круговых функций:

Задача 321

y=arctg⁡(tg⁡x)y=\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}x)
ПостроениеФункция имеет период π\pi, множество значений
(−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) и скачки в точках
x=π2+πkx=\frac{\pi}{2}+\pi k.

Построение

Идея

Тангенс не определён приx=π2+πkk∈Zx=\frac{\pi}{2}+\pi k
\qquad
k\in\mathbb Zпоэтому эти точки не входят в область определения. Функция
arctg⁡t\operatorname{arctg}t является обратной к тангенсу на промежутке
(−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right). Следовательно, на каждом
промежутке непрерывности тангенсаarctg⁡(tg⁡x)=x−πk,−π2+πk<x<π2+πk\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}x)=x-\pi k,
\qquad
-\frac{\pi}{2}+\pi k<x<\frac{\pi}{2}+\pi k
  1. 1
    Итак,D=R∖{π2+πk∣k∈Z}D=\mathbb R\setminus
    \left\{\frac{\pi}{2}+\pi k\mid k\in\mathbb Z\right\}    а множество значений равноE=(−π2,π2)E=\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)Функция нечётная и имеет наименьший положительный период π\pi. В каждой
    исключённой точке имеются два различных односторонних предела:lim⁡x→(π2+πk)−0f(x)=π2lim⁡x→(π2+πk)+0f(x)=−π2\lim_{x\to(\frac{\pi}{2}+\pi k)-0}f(x)=\frac{\pi}{2}
    \qquad
    \lim_{x\to(\frac{\pi}{2}+\pi k)+0}f(x)=-\frac{\pi}{2}    Поэтому там возникают скачки, а не вертикальные асимптоты.
  2. 2

    Построение графика

    На каждом промежутке области определения строим
    открытый отрезок прямой с угловым коэффициентом 11. В точках разрыва
    отмечаем по две выколотые односторонние предельные точки.график к задаче Демидовича № 321

Проверка

Ответ. Функция имеет период π\pi, множество значений
(−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) и скачки в точках
x=π2+πkx=\frac{\pi}{2}+\pi k.
Демидович № 321 — решение и ответ