Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 301

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики функций:

Задача 301

а) y=tg⁡πxб) y=sec⁡1x\text{а) }y=\operatorname{tg}\frac\pi x
\qquad
\text{б) }y=\sec\frac1x
ПостроениеВ пункте а) функция нечётная, убывает на каждом промежутке
непрерывности и имеет множество значений R\mathbb R. В пункте б) функция
чётная и имеет множество значений (−∞,−1]∪[1,+∞)(-\infty,-1]\cup[1,+\infty). У обеих
функций вертикальные асимптоты накапливаются около x=0x=0.

Построение

  1. 1

    Пункт а)

    Функция y=tg⁡πxy=\operatorname{tg}\frac\pi x.

    Необходимо исключить x=0x=0 и точки, в которых косинус аргумента равен нулю:πx=π2+kπ\frac\pi x=\frac\pi2+k\piСледовательно,D=R∖({0}∪{22k+1 | k∈Z})D=\mathbb R\setminus
    \left(\{0\}\cup
    \left\{\frac{2}{2k+1}\,\middle|\,k\in\mathbb Z\right\}\right)    Функция нечётная. Её нули имеют видx=1k,k∈Z∖{0}x=\frac1k,
    \qquad
    k\in\mathbb Z\setminus\{0\}    В каждой точкеx=22k+1x=\frac{2}{2k+1}функция имеет вертикальную асимптоту. Эти асимптоты накапливаются около
    x=0x=0. Сама прямая x=0x=0 вертикальной асимптотой не является: единого
    бесконечного предела при x→0x\to0 нет.

    Производная равнаy′=−πx2sec⁡2πx<0y'=-\frac{\pi}{x^2}\sec^2\frac\pi x<0поэтому функция строго убывает на каждом промежутке непрерывности. Например,
    на промежутке (23,2)\left(\frac23,2\right) она принимает все действительные
    значения. Следовательно, множество значений функции равно R\mathbb R.

    При ∣x∣→∞|x|\to\infty используем эквивалентность tg⁡t∼t\operatorname{tg}t\sim t:tg⁡πx∼πx\operatorname{tg}\frac\pi x\sim\frac\pi xПоэтому y=0y=0 является горизонтальной асимптотой.
  2. 2

    Построение графика

    Проводим несколько пар вертикальных асимптот, которые
    сгущаются к оси OyOy. Между соседними асимптотами строим убывающие ветви и
    отмечаем несколько нулей x=±1,±12,±13,±14x=\pm1,\pm\frac12,\pm\frac13,\pm\frac14.график к задаче Демидовича № 301
  3. 3

    Пункт б)

    Функция y=sec⁡1xy=\sec\frac1x.

    Нужно исключить точку x=0x=0 и нули знаменателя:cos⁡1x=0⟺x=2π(2k+1)\cos\frac1x=0
    \quad\Longleftrightarrow\quad
    x=\frac{2}{\pi(2k+1)}    ПоэтомуD=R∖({0}∪{2π(2k+1) | k∈Z})D=\mathbb R\setminus
    \left(\{0\}\cup
    \left\{\frac{2}{\pi(2k+1)}\,\middle|\,k\in\mathbb Z\right\}\right)    Функция чётная. Поскольку множество значений секанса равно
    (−∞,−1]∪[1,+∞)(-\infty,-1]\cup[1,+\infty) и величина 1x\frac1x принимает все ненулевые
    действительные значения, получаемE=(−∞,−1]∪[1,+∞)E=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)Прямыеx=2π(2k+1)x=\frac{2}{\pi(2k+1)}являются вертикальными асимптотами и накапливаются около x=0x=0. В точке
    x=0x=0 единого предела нет, поэтому сама ось OyOy вертикальной асимптотой
    не является.

    Производная равнаy′=−1x2sec⁡1xtg⁡1xy'=-\frac1{x^2}\sec\frac1x\operatorname{tg}\frac1xСтационарные точки имеют абсциссыx=1kπ,k∈Z∖{0}x=\frac1{k\pi},
    \qquad
    k\in\mathbb Z\setminus\{0\}    и ординаты (−1)k(-1)^k. Они являются вершинами чередующихся верхних и нижних
    ветвей.

    При ∣x∣→∞|x|\to\infty имеемsec⁡1x⟶1\sec\frac1x\longrightarrow1поэтому y=1y=1 — горизонтальная асимптота.
  4. 4

    Построение графика

    Проводим несколько пар вертикальных асимптот. Между ними
    строим попеременно верхние U-образные и нижние перевёрнутые ветви. Вершины
    отмечаем в точках x=±1kπx=\pm\frac1{k\pi} для k=1,2,3,4k=1,2,3,4.график к задаче Демидовича № 301

Проверка

Ответ. В пункте а) функция нечётная, убывает на каждом промежутке
непрерывности и имеет множество значений R\mathbb R. В пункте б) функция
чётная и имеет множество значений (−∞,−1]∪[1,+∞)(-\infty,-1]\cup[1,+\infty). У обеих
функций вертикальные асимптоты накапливаются около x=0x=0.
Демидович № 301 — решение и ответ