Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 329

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 329

1. Пусть

f(x)=(x-a)(b-x)\qquada<b

Построить графики функций:

\text{а) }y=f(x)\quad\text{б) }y=f^2(x)\quad\text{в) }y=\frac1{f(x)}\quad\text{г) }y=\sqrt{f(x)}

\text{д) }y=e^{f(x)}\quad\text{е) }y=\lg f(x)\quad\text{ж) }y=\operatorname{arcctg}f(x)

2. Построить графики функций:

\text{а) }y=\arcsin[\sin f(x)]\quad\text{б) }y=\arcsin[\cos f(x)]

\text{в) }y=\arccos[\sin f(x)]\quad\text{г) }y=\arccos[\cos f(x)]\quad\text{д) }y=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}f(x)]

если: 1)

f(x)=x^2

; 2)

f(x)=x^3

ПостроениеПри

f(x)=x^3

диапазоны пяти внешних функций полностью
сохраняются, но периодичность исчезает; последний график имеет скачки
в точках

x=\sqrt[3]{\pi/2+\pi k}

k\in\mathbb Z

Построение

1
Преобразования функции $f(x)=(x-a)(b-x)$ .
2
Обозначим середину отрезка $[a,b]$ и его половину через $c=\frac{a+b}{2}\qquadh=\frac{b-a}{2}>0$ Тогда $a=c-h$ , $b=c+h$ , и после замены $t=x-c$ получаем $\begin{aligned}f(x)&=(x-a)(b-x)=\\&=(t+h)(h-t)=h^2-t^2\end{aligned}$ Таким образом, исходный график является параболой, симметричной
относительно прямой $x=c$ . Все дальнейшие графики также симметричны
относительно этой прямой, поскольку зависят от $x$ только через $t^2$ .

Идея. На всех рисунках используется сдвинутая координата $t=x-c$ :
точкам $x=a,c,b$ соответствуют $t=-h,0,h$ . Для численного построения
выбрано $h=5/4$ . Общими при всех $h>0$ остаются симметрия, области
определения, общий вид ветвей и асимптоты. Положение графика
$y=\lg f(x)$ относительно оси $Ox$ зависит от значения $h$ .
3
Пункт а)
Для функции $y=f(x)=h^2-t^2$ имеем $D=\mathbb R\qquadE=(-\infty,h^2]$ Вершина параболы имеет координаты $(c,h^2)$ , нули равны $x=a$ и
$x=b$ . Функция положительна на $(a,b)$ и отрицательна вне отрезка
$[a,b]$ . $график к задаче Демидовича № 329$
4
Пункт б)
В записи условия $f^2(x)=[f(x)]^2$ При переходе к $y=f^2(x)=[f(x)]^2$ каждая ордината $y=f(x)$
заменяется её квадратом. Поэтому отрицательные значения становятся
положительными, но это преобразование не является отражением
относительно оси $Ox$ : $y=f^2(x)=(h^2-t^2)^2$ Область определения равна $\mathbb R$ , а множество значений равно
$[0,+\infty)$ . Производная имеет вид $y'=4t(t^2-h^2)$ Поэтому точки $(a,0)$ и $(b,0)$ являются точками минимума, а
$(c,h^4)$ — точкой локального максимума. При
$x\to\pm\infty$ функция стремится к $+\infty$ . $график к задаче Демидовича № 329$
5
Пункт в)
Для обратной функции необходимо исключить нули знаменателя: $D=\mathbb R\setminus\{a,b\}$ Прямые $x=a$ и $x=b$ являются вертикальными асимптотами. При
$x\to\pm\infty$ имеем $1/f(x)\to0$ , поэтому $y=0$ — горизонтальная
асимптота. На $(a,b)$ функция положительна и принимает значения от
$1/h^2$ до $+\infty$ , а вне этого промежутка принимает все
отрицательные значения. Следовательно, $E=(-\infty,0)\cup\left[\frac1{h^2},+\infty\right)$ Наименьшее положительное значение $1/h^2$ достигается при $x=c$ . $график к задаче Демидовича № 329$
6
Пункт г)
Корень существует тогда и только тогда, когда $f(x)\geqslant0$ : $D=[a,b]$ Из равенства $y=\sqrt{h^2-t^2}$ следует $t^2+y^2=h^2\qquady\geqslant0$ График является верхней полуокружностью радиуса $h$ с центром
$(c,0)$ . Его множество значений равно $[0,h]$ . $график к задаче Демидовича № 329$
7
Пункт д)
Показательная функция строго возрастает, поэтому сохраняет
порядок значений $f(x)$ : $y=e^{h^2-t^2}$ Имеем $D=\mathbb R$ и $E=(0,e^{h^2}]$ Максимум $e^{h^2}$ достигается при $x=c$ , а при $x=a$ и $x=b$
получаем $y=1$ . При $x\to\pm\infty$ график приближается к
горизонтальной асимптоте $y=0$ . $график к задаче Демидовича № 329$
8
Пункт е)
Логарифм определён только при $f(x)>0$ , то есть $D=(a,b)$ Наибольшее значение аргумента равно $h^2$ , поэтому $E=(-\infty,\lg h^2]$ Максимум $\lg h^2$ достигается при $x=c$ . При $x\to a+0$ и
$x\to b-0$ значение функции стремится к $-\infty$ , поэтому прямые
$x=a$ и $x=b$ являются вертикальными асимптотами.
Положение графика относительно оси $Ox$ зависит от значения $h$ : $\begin{array}{ll}0<h<1: & \lg h^2<0,\text{ весь график расположен ниже }Ox\,,\\[1mm]h=1: & \max y=0,\text{ график касается }Ox\text{ при }x=c\,,\\[1mm]h>1: & \text{график имеет два нуля }x=c\pm\sqrt{h^2-1}\,.\end{array}$ $график к задаче Демидовича № 329$
9
Пункт ж)
Будем использовать соглашение $\operatorname{arcctg}u\in(0,\pi)$ Функция $\operatorname{arcctg}u$ строго убывает, а внутреннее выражение
$f(x)$ принимает все значения из $(-\infty,h^2]$ . Поэтому $D=\mathbb R\qquadE=[\operatorname{arcctg}h^2,\pi)$ Минимум $\operatorname{arcctg}h^2$ достигается при $x=c$ . В точках
$x=a$ и $x=b$ значение равно $\pi/2$ , а при $x\to\pm\infty$ график
приближается к горизонтальной асимптоте $y=\pi$ . $график к задаче Демидовича № 329$
10
Ответ
Для всех семи функций ось симметрии равна
$x=(a+b)/2$ ; области определения, множества значений, граничные точки
и асимптоты указаны в разборе каждого подпункта.

Композиции с обратными круговыми функциями.

Чтобы не повторять одно и то же исследование, сначала обозначим $\begin{aligned}A(u)&=\arcsin(\sin u)\\B(u)&=\arcsin(\cos u)\\C(u)&=\arccos(\sin u)\\G(u)&=\arccos(\cos u)\\T(u)&=\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}u)\end{aligned}$ Главные диапазоны обратных функций дают $A(u),B(u)\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\qquadT(u)\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ $C(u),G(u)\in[0,\pi]$
11
Для любого $k\in\mathbb Z$ справедливы формулы $A(u)=\begin{cases}u-2\pi k,&-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\leqslant u\leqslant\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\\[2mm]\pi-u+2\pi k,&\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\leqslant u\leqslant\dfrac{3\pi}{2}+2\pi k\end{cases}$ $B(u)=\frac{\pi}{2}-|u-2\pi k|\qquad(2k-1)\pi\leqslant u\leqslant(2k+1)\pi$ Кроме того, $C(u)=\frac{\pi}{2}-A(u)$ $G(u)=|u-2\pi k|\qquad(2k-1)\pi\leqslant u\leqslant(2k+1)\pi$ Функция $T$ не определена при $u=\pi/2+\pi k$ , а на каждом промежутке
непрерывности $T(u)=u-\pi k\qquad-\frac{\pi}{2}+\pi k<u<\frac{\pi}{2}+\pi k$
12
Случай 1
$f(x)=x^2$ .

Поскольку $x^2\geqslant0$ , в формулах характерных точек оставляем
только неотрицательные значения внутренней переменной. Все пять
композиций являются чётными. Они не являются периодическими.
Действительно, рассмотрим последовательные однотипные вершины или нули.
Если их значения внутренней переменной разделены постоянным шагом $P$ ,
то соответствующие положительные абсциссы имеют вид
$x_k=\sqrt{u_0+kP}$ , причём $x_{k+1}-x_k=\frac{P}{\sqrt{u_0+(k+1)P}+\sqrt{u_0+kP}}\longrightarrow0$ У периодического кусочно-гладкого графика взаимное расположение
последовательных однотипных вершин или нулей должно повторяться после
сдвига на период. Здесь же расстояния между ними непрерывно изменяются
и стремятся к нулю. Поэтому никакой фиксированный положительный сдвиг
не может повторять весь график.

Идея. На рисунках показаны конечные фрагменты графиков. После
подстановки $u=x^2$ куски треугольных волн превращаются в дуги
парабол; при $|x|\to\infty$ колебания продолжаются, а расстояния
между соседними характерными точками уменьшаются.

Для $A(x^2)=\arcsin(\sin x^2)$ область определения равна $\mathbb R$ ,
а множество значений равно $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ Нули, максимумы и минимумы находятся из соответствующих значений
$u=x^2$ : $\begin{aligned}x&=0,\quad x=\pm\sqrt{\pi k},&&k=1,2,\ldots\\x&=\pm\sqrt{\frac{\pi}{2}+2\pi k},&&k=0,1,2,\ldots\\x&=\pm\sqrt{\frac{3\pi}{2}+2\pi k},&&k=0,1,2,\ldots\end{aligned}$ Во второй строке значение равно $\pi/2$ , а в третьей — $-\pi/2$ . $график к задаче Демидовича № 329$

Для $B(x^2)=\arcsin(\cos x^2)$ также получаем $D=\mathbb R$ и
$E=[-\pi/2,\pi/2]$ . Нули имеют вид $x=\pm\sqrt{\frac{\pi}{2}+\pi k}\qquadk=0,1,2,\ldots$ Максимумы $\pi/2$ достигаются при $x=0$ и
$x=\pm\sqrt{2\pi k}$ , $k=1,2,\ldots$ , а минимумы $-\pi/2$ — при
$x=\pm\sqrt{(2k+1)\pi}$ , где $k=0,1,2,\ldots$ . $график к задаче Демидовича № 329$
13
Из тождества $C(u)=\pi/2-A(u)$ следует, что
$C(x^2)=\arccos(\sin x^2)$ имеет область определения $\mathbb R$ и
множество значений $[0,\pi]$ . Нули и максимумы находятся соответственно
в точках $x=\pm\sqrt{\frac{\pi}{2}+2\pi k}\qquadx=\pm\sqrt{\frac{3\pi}{2}+2\pi k}\qquadk=0,1,2,\ldots$ $график к задаче Демидовича № 329$

Для $G(x^2)=\arccos(\cos x^2)$ имеем $D=\mathbb R$ и $E=[0,\pi]$ .
Нули и максимумы равны $x=0,\quad x=\pm\sqrt{2\pi k},\quad k=1,2,\ldots\qquadx=\pm\sqrt{(2k+1)\pi},\quad k=0,1,2,\ldots$ $график к задаче Демидовича № 329$

Наконец, $T(x^2)$ не определена, когда $x^2=\frac{\pi}{2}+\pi k$ Поскольку правая часть должна быть положительной, $D=\mathbb R\setminus\left\{\left.\pm\sqrt{\frac{\pi}{2}+\pi k}\ \right|\ k=0,1,2,\ldots\right\}$ Множество значений равно
$(-\pi/2,\pi/2)$ . В каждой исключённой точке имеются две выколотые
односторонние предельные точки со значениями $\pi/2$ и $-\pi/2$ ,
поэтому это скачки, а не вертикальные асимптоты. $график к задаче Демидовича № 329$
14
Ответ
При $f(x)=x^2$ все пять графиков чётны и непериодичны;
область определения последнего графика получается удалением точек
$x=\pm\sqrt{\pi/2+\pi k}$ , $k=0,1,2,\ldots$ .
15
Случай 2
$f(x)=x^3$ .
16
Функция $u=x^3$ строго возрастает и отображает $\mathbb R$ на
$\mathbb R$ . Поэтому каждая характерная точка внешней функции с
абсциссой $u_0$ переходит в единственную точку с абсциссой $x=\sqrt[3]{u_0}$ Рассмотрим последовательные однотипные вершины или нули. Если их
значения внешней переменной повторяются через шаг $P$ , соответствующие
абсциссы имеют вид $x_k=\sqrt[3]{u_0+kP}$ . Расстояния
$x_{k+1}-x_k$ непрерывно изменяются и стремятся к нулю при
$k\to+\infty$ . У периодического кусочно-гладкого графика взаимное
расположение таких точек должно повторяться после сдвига на период.
Следовательно, ни один фиксированный положительный сдвиг не повторяет
график, и полученные функции не являются периодическими.

Идея. На рисунках показаны конечные фрагменты графиков. После
подстановки $u=x^3$ куски треугольных волн становятся дугами
кубических парабол; при $|x|\to\infty$ колебания продолжаются, а
расстояния между соседними характерными точками уменьшаются.
17
Функция $A(x^3)=\arcsin(\sin x^3)$ определена на $\mathbb R$ , нечётна
и принимает значения из $[-\pi/2,\pi/2]$ . Её нули, максимумы и минимумы
имеют абсциссы $\begin{aligned}x&=\sqrt[3]{\pi k}\\x&=\sqrt[3]{\frac{\pi}{2}+2\pi k}\\x&=\sqrt[3]{-\frac{\pi}{2}+2\pi k}\end{aligned}\qquadk\in\mathbb Z$ $график к задаче Демидовича № 329$
18
Функция $B(u)=\arcsin(\cos u)$ чётна по $u$ . Поскольку $x^3$ нечётна,
композиция $B(x^3)$ оказывается чётной. Её область определения равна
$\mathbb R$ , множество значений равно $[-\pi/2,\pi/2]$ , а нули имеют
вид $x=\sqrt[3]{\frac{\pi}{2}+\pi k}\qquadk\in\mathbb Z$ Максимумы $\pi/2$ достигаются при $x=\sqrt[3]{2\pi k}$ , минимумы
$-\pi/2$ — при $x=\sqrt[3]{(2k+1)\pi}$ . $график к задаче Демидовича № 329$

Для $C(x^3)=\arccos(\sin x^3)$ имеем $D=\mathbb R$ и $E=[0,\pi]$ .
Из равенства $C(u)=\pi/2-A(u)$ и нечётности $A(x^3)$ следует $C(-x)=\pi-C(x)$ то есть график центрально симметричен относительно точки
$(0,\pi/2)$ . Нули и максимумы достигаются соответственно при $x=\sqrt[3]{\frac{\pi}{2}+2\pi k}\qquadx=\sqrt[3]{-\frac{\pi}{2}+2\pi k}\qquadk\in\mathbb Z$ $график к задаче Демидовича № 329$
19
Функция $G(x^3)=\arccos(\cos x^3)$ определена на $\mathbb R$ , чётна и
принимает значения из $[0,\pi]$ . Её нули и максимумы имеют абсциссы $x=\sqrt[3]{2\pi k}\qquadx=\sqrt[3]{(2k+1)\pi}\qquadk\in\mathbb Z$ $график к задаче Демидовича № 329$
20
Функция $T(x^3)$ нечётна и не определена в точках $x=\sqrt[3]{\frac{\pi}{2}+\pi k}\qquadk\in\mathbb Z$ Следовательно, $D=\mathbb R\setminus\left\{\left.\sqrt[3]{\frac{\pi}{2}+\pi k}\ \right|\ k\in\mathbb Z\right\}$ Множество значений равно $(-\pi/2,\pi/2)$ . В каждой исключённой точке
на графике возникает скачок с двумя выколотыми односторонними
предельными точками. $график к задаче Демидовича № 329$

Проверка

Ответ. При

f(x)=x^3

x=\sqrt[3]{\pi/2+\pi k}

k\in\mathbb Z