Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 329

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 329

1. Пустьf(x)=(x−a)(b−x)a<bf(x)=(x-a)(b-x)
\qquad
a<bПостроить графики функций:а) y=f(x)б) y=f2(x)в) y=1f(x)г) y=f(x)\text{а) }y=f(x)
\quad
\text{б) }y=f^2(x)
\quad
\text{в) }y=\frac1{f(x)}
\quad
\text{г) }y=\sqrt{f(x)}д) y=ef(x)е) y=lg⁡f(x)ж) y=arcctg⁡f(x)\text{д) }y=e^{f(x)}
\quad
\text{е) }y=\lg f(x)
\quad
\text{ж) }y=\operatorname{arcctg}f(x)2. Построить графики функций:а) y=arcsin⁡[sin⁡f(x)]б) y=arcsin⁡[cos⁡f(x)]\text{а) }y=\arcsin[\sin f(x)]
\quad
\text{б) }y=\arcsin[\cos f(x)]в) y=arccos⁡[sin⁡f(x)]г) y=arccos⁡[cos⁡f(x)]д) y=arctg⁡[tg⁡f(x)]\text{в) }y=\arccos[\sin f(x)]
\quad
\text{г) }y=\arccos[\cos f(x)]
\quad
\text{д) }y=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}f(x)]если: 1) f(x)=x2f(x)=x^2; 2) f(x)=x3f(x)=x^3.
ПостроениеВ части 1 все семь графиков симметричны относительно x=(a+b)2x=\frac{(a+b)}{2}. В части 2 все десять композиций непериодичны; их области определения и характерные точки указаны в решении.

Построение

Преобразования функции f(x)=(x−a)(b−x)f(x)=(x-a)(b-x).
Обозначим середину отрезка [a,b][a,b] и его половину черезc=a+b2h=b−a2>0c=\frac{a+b}{2}
\qquad
h=\frac{b-a}{2}>0Тогда a=c−ha=c-h, b=c+hb=c+h, и после замены t=x−ct=x-c получаемf(x)=\displaystyle f(x)\mathrel{=}(x−a)(b−x)=\displaystyle (x-a)(b-x)\mathrel{=}(t+h)(h−t)=\displaystyle (t+h)(h-t)\mathrel{=}h2−t2\displaystyle h^2-t^2Таким образом, исходный график является параболой, симметричной
относительно прямой x=cx=c. Все дальнейшие графики также симметричны
относительно этой прямой, поскольку зависят от xx только через t2t^2.

На всех рисунках используется сдвинутая координата t=x−ct=x-c:
точкам x=a,c,bx=a,c,b соответствуют t=−h,0,ht=-h,0,h. Для численного построения
выбрано h=54h=\frac{5}{4}. Общими при всех h>0h>0 остаются симметрия, области
определения, общий вид ветвей и асимптоты. Положение графика
y=lg⁡f(x)y=\lg f(x) относительно оси OxOx зависит от значения hh.

Пункт а)

Для функции y=f(x)=h2−t2y=f(x)=h^2-t^2 имеемD=RE=(−∞,h2]D=\mathbb R
\qquad
E=(-\infty,h^2]Вершина параболы имеет координаты (c,h2)(c,h^2), нули равны x=ax=a и
x=bx=b. Функция положительна на (a,b)(a,b) и отрицательна вне отрезка
[a,b][a,b].график к задаче Демидовича № 329

Пункт б)

В записи условияf2(x)=[f(x)]2f^2(x)=[f(x)]^2При переходе к y=f2(x)=[f(x)]2y=f^2(x)=[f(x)]^2 каждая ордината y=f(x)y=f(x)
заменяется её квадратом. Поэтому отрицательные значения становятся
положительными, но это преобразование не является отражением
относительно оси OxOx:y=f2(x)=(h2−t2)2y=f^2(x)=(h^2-t^2)^2Область определения равна R\mathbb R, а множество значений равно
[0,+∞)[0,+\infty). При 0≤∣t∣≤h0\le|t|\le h величина h2−t2h^2-t^2 неотрицательна и убывает с ростом ∣t∣|t|, поэтому её квадрат тоже убывает. При ∣t∣≥h|t|\ge h имеем (h2−t2)2=(t2−h2)2(h^2-t^2)^2=(t^2-h^2)^2, и оба возведения в квадрат сохраняют возрастание неотрицательных величин.
Поэтому точки (a,0)(a,0) и (b,0)(b,0) являются точками минимума, а
(c,h4)(c,h^4) — точкой локального максимума. При
x→±∞x\to\pm\infty функция стремится к +∞+\infty.график к задаче Демидовича № 329

Пункт в)

Для функции y=1f(x)y=\frac{1}{f}(x) необходимо исключить нули знаменателя:D=R∖{a,b}D=\mathbb R\setminus\{a,b\}Прямые x=ax=a и x=bx=b являются вертикальными асимптотами. При
x→±∞x\to\pm\infty имеем 1f(x)→0\frac{1}{f}(x)\to0, поэтому y=0y=0 — горизонтальная
асимптота. На (a,b)(a,b) функция положительна и принимает значения от
1h2\frac{1}{h^2} до +∞+\infty, а вне этого промежутка принимает все
отрицательные значения. Следовательно,E=(−∞,0)∪[1h2,+∞)E=(-\infty,0)\cup\left[\frac1{h^2},+\infty\right)Наименьшее положительное значение 1h2\frac{1}{h^2} достигается при x=cx=c.график к задаче Демидовича № 329

Пункт г)

Корень существует тогда и только тогда, когда f(x)⩾0f(x)\geqslant0:D=[a,b]D=[a,b]Из равенстваy=h2−t2y=\sqrt{h^2-t^2}следуетt2+y2=h2y⩾0t^2+y^2=h^2
\qquad
y\geqslant0График является верхней полуокружностью радиуса hh с центром
(c,0)(c,0). Его множество значений равно [0,h][0,h].график к задаче Демидовича № 329

Пункт д)

Показательная функция строго возрастает, поэтому сохраняет
порядок значений f(x)f(x):y=eh2−t2y=e^{h^2-t^2}Имеем D=RD=\mathbb R иE=(0,eh2]E=(0,e^{h^2}]Максимум eh2e^{h^2} достигается при x=cx=c, а при x=ax=a и x=bx=b
получаем y=1y=1. При x→±∞x\to\pm\infty график приближается к
горизонтальной асимптоте y=0y=0.график к задаче Демидовича № 329

Пункт е)

Логарифм определён только при f(x)>0f(x)>0, то естьD=(a,b)D=(a,b)Наибольшее значение аргумента равно h2h^2, поэтомуE=(−∞,lg⁡h2]E=(-\infty,\lg h^2]Максимум lg⁡h2\lg h^2 достигается при x=cx=c. При x→a+0x\to a+0 и
x→b−0x\to b-0 значение функции стремится к −∞-\infty, поэтому прямые
x=ax=a и x=bx=b являются вертикальными асимптотами.
Положение графика относительно оси OxOx зависит от значения hh:0<h<1:lg⁡h2<0, весь график расположен ниже Ox ,h=1:max⁡y=0, график касается Ox при x=c ,h>1:график имеет два нуля x=c±h2−1 .\begin{array}{ll}
0<h<1: & \lg h^2<0,\text{ весь график расположен ниже }Ox\,,\\[1mm]
h=1: & \max y=0,\text{ график касается }Ox\text{ при }x=c\,,\\[1mm]
h>1: & \text{график имеет два нуля }
x=c\pm\sqrt{h^2-1}\,.
\end{array}график к задаче Демидовича № 329

Пункт ж)

Будем использовать соглашениеarcctg⁡u∈(0,π)\operatorname{arcctg}u\in(0,\pi)Функция arcctg⁡u\operatorname{arcctg}u строго убывает, а внутреннее выражение
f(x)f(x) принимает все значения из (−∞,h2](-\infty,h^2]. ПоэтомуD=RE=[arcctg⁡h2,π)D=\mathbb R
\qquad
E=[\operatorname{arcctg}h^2,\pi)Минимум arcctg⁡h2\operatorname{arcctg}h^2 достигается при x=cx=c. В точках
x=ax=a и x=bx=b значение равно π2\frac{\pi}{2}, а при x→±∞x\to\pm\infty график
приближается к горизонтальной асимптоте y=πy=\pi.график к задаче Демидовича № 329

Ответ

Для всех семи функций ось симметрии равна
x=(a+b)2x=\frac{(a+b)}{2}; области определения, множества значений, граничные точки
и асимптоты указаны в разборе каждого подпункта.

Композиции с обратными круговыми функциями.

Чтобы не повторять одно и то же исследование, сначала обозначимA(u)=arcsin⁡(sin⁡u)B(u)=arcsin⁡(cos⁡u)C(u)=arccos⁡(sin⁡u)G(u)=arccos⁡(cos⁡u)T(u)=arctg⁡(tg⁡u)\begin{aligned}
A(u)&=\arcsin(\sin u)\\
B(u)&=\arcsin(\cos u)\\
C(u)&=\arccos(\sin u)\\
G(u)&=\arccos(\cos u)\\
T(u)&=\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}u)
\end{aligned}Главные диапазоны обратных функций даютA(u),B(u)∈[−π2,π2]T(u)∈(−π2,π2)A(u),B(u)\in
\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]
\qquad
T(u)\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)C(u),G(u)∈[0,π]C(u),G(u)\in[0,\pi]
Для любого k∈Zk\in\mathbb Z справедливы формулыA(u)={u−2πk,−π2+2πk⩽u⩽π2+2πkπ−u+2πk,π2+2πk⩽u⩽3π2+2πkA(u)=
\begin{cases}
u-2\pi k,
&-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\leqslant u\leqslant
\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\\[2mm]
\pi-u+2\pi k,
&\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\leqslant u\leqslant
\dfrac{3\pi}{2}+2\pi k
\end{cases}B(u)=π2−∣u−2πk∣(2k−1)π⩽u⩽(2k+1)πB(u)=\frac{\pi}{2}-|u-2\pi k|
\qquad
(2k-1)\pi\leqslant u\leqslant(2k+1)\piКроме того,C(u)=π2−A(u)C(u)=\frac{\pi}{2}-A(u)G(u)=∣u−2πk∣(2k−1)π⩽u⩽(2k+1)πG(u)=|u-2\pi k|
\qquad
(2k-1)\pi\leqslant u\leqslant(2k+1)\piФункция TT не определена при u=π2+πku=\frac{\pi}{2}+\pi k, а на каждом промежутке
непрерывностиT(u)=u−πk−π2+πk<u<π2+πkT(u)=u-\pi k
\qquad
-\frac{\pi}{2}+\pi k<u<\frac{\pi}{2}+\pi k

Случай 1

f(x)=x2f(x)=x^2.

Поскольку x2⩾0x^2\geqslant0, в формулах характерных точек оставляем
только неотрицательные значения внутренней переменной. Все пять
композиций являются чётными. Они не являются периодическими.
Действительно, рассмотрим последовательные однотипные вершины или нули.
Если их значения внутренней переменной разделены постоянным шагом PP,
то соответствующие положительные абсциссы имеют вид
xk=u0+kPx_k=\sqrt{u_0+kP}, причёмxk+1−xk=Pu0+(k+1)P+u0+kP⟶0x_{k+1}-x_k=
\frac{P}{\sqrt{u_0+(k+1)P}+\sqrt{u_0+kP}}\longrightarrow0Почему это исключает период? Для первых четырёх функций рассмотрим нули, а для последней — исключённые точки. В любом ограниченном промежутке таких точек конечное число, что следует из выписанных ниже формул. Если бы существовал период T>0T>0, конечный набор точек на [0,T)[0,T) повторялся бы через TT. Расстояния между соседними точками тогда принадлежали бы конечному набору положительных чисел, включая расстояние от последней точки одного периода до первой следующего. У них была бы положительная нижняя граница. Полученные расстояния стремятся к нулю, поэтому это невозможно.

На рисунках показаны конечные фрагменты графиков. После
подстановки u=x2u=x^2 куски треугольных волн превращаются в дуги
парабол; при ∣x∣→∞|x|\to\infty колебания продолжаются, а расстояния
между соседними характерными точками уменьшаются.

Для A(x2)=arcsin⁡(sin⁡x2)A(x^2)=\arcsin(\sin x^2) область определения равна R\mathbb R,
а множество значений равно[−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]Нули, максимумы и минимумы находятся из соответствующих значений
u=x2u=x^2:x=0,x=±πk,k=1,2,…x=±π2+2πk,k=0,1,2,…x=±3π2+2πk,k=0,1,2,…\begin{aligned}
x&=0,\quad x=\pm\sqrt{\pi k},&&k=1,2,\ldots\\
x&=\pm\sqrt{\frac{\pi}{2}+2\pi k},&&k=0,1,2,\ldots\\
x&=\pm\sqrt{\frac{3\pi}{2}+2\pi k},&&k=0,1,2,\ldots
\end{aligned}Во второй строке значение равно π2\frac{\pi}{2}, а в третьей — −π2-\frac{\pi}{2}.график к задаче Демидовича № 329

Для B(x2)=arcsin⁡(cos⁡x2)B(x^2)=\arcsin(\cos x^2) также получаем D=RD=\mathbb R и
E=[−π2,π2]E=[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]. Нули имеют видx=±π2+πkk=0,1,2,…x=\pm\sqrt{\frac{\pi}{2}+\pi k}
\qquad
k=0,1,2,\ldotsМаксимумы π2\frac{\pi}{2} достигаются при x=0x=0 и
x=±2πkx=\pm\sqrt{2\pi k}, k=1,2,…k=1,2,\ldots, а минимумы −π2-\frac{\pi}{2} — при
x=±(2k+1)πx=\pm\sqrt{(2k+1)\pi}, где k=0,1,2,…k=0,1,2,\ldots.график к задаче Демидовича № 329
Из тождества C(u)=π2−A(u)C(u)=\frac{\pi}{2}-A(u) следует, что
C(x2)=arccos⁡(sin⁡x2)C(x^2)=\arccos(\sin x^2) имеет область определения R\mathbb R и
множество значений [0,π][0,\pi]. Нули и максимумы находятся соответственно
в точкахx=±π2+2πkx=±3π2+2πkk=0,1,2,…x=\pm\sqrt{\frac{\pi}{2}+2\pi k}
\qquad
x=\pm\sqrt{\frac{3\pi}{2}+2\pi k}
\qquad
k=0,1,2,\ldotsграфик к задаче Демидовича № 329

Для G(x2)=arccos⁡(cos⁡x2)G(x^2)=\arccos(\cos x^2) имеем D=RD=\mathbb R и E=[0,π]E=[0,\pi].
Нули и максимумы равныx=0,x=±2πk,k=1,2,…x=±(2k+1)π,k=0,1,2,…x=0,\quad x=\pm\sqrt{2\pi k},\quad k=1,2,\ldots
\qquad
x=\pm\sqrt{(2k+1)\pi},\quad k=0,1,2,\ldotsграфик к задаче Демидовича № 329

Наконец, T(x2)T(x^2) не определена, когдаx2=π2+πkx^2=\frac{\pi}{2}+\pi kПоскольку правая часть должна быть положительной,D=R∖{±π2+πk ∣ k=0,1,2,…}D=\mathbb R\setminus
\left\{\left.
\pm\sqrt{\frac{\pi}{2}+\pi k}
\ \right|\ k=0,1,2,\ldots\right\}Множество значений равно
(−π2,π2)(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}). В каждой исключённой точке имеются две выколотые
крайние точки со значениями π2\frac{\pi}{2} и −π2-\frac{\pi}{2},
поэтому это скачки, а не вертикальные асимптоты.график к задаче Демидовича № 329

Ответ

При f(x)=x2f(x)=x^2 все пять графиков чётны и непериодичны;
область определения последнего графика получается удалением точек
x=±π2+πkx=\pm\sqrt{\frac{\pi}{2}+\pi k}, k=0,1,2,…k=0,1,2,\ldots.

Случай 2

f(x)=x3f(x)=x^3.
Функция u=x3u=x^3 строго возрастает и отображает R\mathbb R на
R\mathbb R. Поэтому каждая характерная точка внешней функции с
абсциссой u0u_0 переходит в единственную точку с абсциссойx=u03x=\sqrt[3]{u_0}Рассмотрим последовательные однотипные вершины или нули. Если их
значения внешней переменной повторяются через шаг PP, соответствующие
абсциссы имеют вид xk=u0+kP3x_k=\sqrt[3]{u_0+kP}. По формуле разности кубовxk+1−xk=Pxk+12+xk+1xk+xk2⟶0.x_{k+1}-x_k=\frac{P}{x_{k+1}^2+x_{k+1}x_k+x_k^2}\longrightarrow0.Как и в случае квадрата, в каждом ограниченном промежутке нулей или исключённых точек конечное число. Поэтому доказанное выше рассуждение о положительной нижней границе расстояний исключает период и здесь.

На рисунках показаны конечные фрагменты графиков. После
подстановки u=x3u=x^3 куски треугольных волн становятся дугами
кубических парабол; при ∣x∣→∞|x|\to\infty колебания продолжаются, а
расстояния между соседними характерными точками уменьшаются.
Функция A(x3)=arcsin⁡(sin⁡x3)A(x^3)=\arcsin(\sin x^3) определена на R\mathbb R, нечётна
и принимает значения из [−π2,π2][-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]. Её нули, максимумы и минимумы
имеют абсциссыx=πk3x=π2+2πk3x=−π2+2πk3k∈Z\begin{aligned}
x&=\sqrt[3]{\pi k}\\
x&=\sqrt[3]{\frac{\pi}{2}+2\pi k}\\
x&=\sqrt[3]{-\frac{\pi}{2}+2\pi k}
\end{aligned}
\qquad
k\in\mathbb Zграфик к задаче Демидовича № 329
Функция B(u)=arcsin⁡(cos⁡u)B(u)=\arcsin(\cos u) чётна по uu. Поскольку x3x^3 нечётна,
композиция B(x3)B(x^3) оказывается чётной. Её область определения равна
R\mathbb R, множество значений равно [−π2,π2][-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}], а нули имеют
видx=π2+πk3k∈Zx=\sqrt[3]{\frac{\pi}{2}+\pi k}
\qquad
k\in\mathbb ZМаксимумы π2\frac{\pi}{2} достигаются при x=2πk3x=\sqrt[3]{2\pi k}, минимумы
−π2-\frac{\pi}{2} — при x=(2k+1)π3x=\sqrt[3]{(2k+1)\pi}.график к задаче Демидовича № 329

Для C(x3)=arccos⁡(sin⁡x3)C(x^3)=\arccos(\sin x^3) имеем D=RD=\mathbb R и E=[0,π]E=[0,\pi].
Из равенства C(u)=π2−A(u)C(u)=\frac{\pi}{2}-A(u) и нечётности A(x3)A(x^3) следуетC(−x)=π−C(x)C(-x)=\pi-C(x)то есть график центрально симметричен относительно точки
(0,π2)(0,\frac{\pi}{2}). Нули и максимумы достигаются соответственно приx=π2+2πk3x=−π2+2πk3k∈Zx=\sqrt[3]{\frac{\pi}{2}+2\pi k}
\qquad
x=\sqrt[3]{-\frac{\pi}{2}+2\pi k}
\qquad
k\in\mathbb Zграфик к задаче Демидовича № 329
Функция G(x3)=arccos⁡(cos⁡x3)G(x^3)=\arccos(\cos x^3) определена на R\mathbb R, чётна и
принимает значения из [0,π][0,\pi]. Её нули и максимумы имеют абсциссыx=2πk3x=(2k+1)π3k∈Zx=\sqrt[3]{2\pi k}
\qquad
x=\sqrt[3]{(2k+1)\pi}
\qquad
k\in\mathbb Zграфик к задаче Демидовича № 329
Функция T(x3)T(x^3) нечётна и не определена в точкахx=π2+πk3k∈Zx=\sqrt[3]{\frac{\pi}{2}+\pi k}
\qquad
k\in\mathbb ZСледовательно,D=R∖{π2+πk3 ∣ k∈Z}D=\mathbb R\setminus
\left\{\left.
\sqrt[3]{\frac{\pi}{2}+\pi k}
\ \right|\ k\in\mathbb Z\right\}Множество значений равно (−π2,π2)(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}). В каждой исключённой точке
на графике возникает скачок с двумя выколотыми односторонними
предельными точками.график к задаче Демидовича № 329

Ответ

При f(x)=x3f(x)=x^3 диапазоны пяти внешних функций полностью
сохраняются, но периодичность исчезает; последний график имеет скачки
в точках x=π2+πk3x=\sqrt[3]{\frac{\pi}{2}+\pi k}, k∈Zk\in\mathbb Z.
Демидович № 329 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика