Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 291

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики тригонометрических функций:

y=\sec x

Построение

По определению

\sec x=\frac1{\cos x}

поэтому функция не определена в нулях косинуса:

D=\mathbb R\setminus\left\{\frac\pi2+\pi k\mid k\in\mathbb Z\right\}

Она является чётной и имеет наименьший положительный период

2\pi

\sec(-x)=\sec x\qquad\sec(x+2\pi)=\sec x

Следовательно, график симметричен относительно оси

Oy

.

Поскольку

|\cos x|\le1

\cos x\ne0

в области определения,

|\sec x|=\frac1{|\cos x|}\ge1

Значения

1

-1

действительно достигаются:

\sec(2\pi k)=1\qquad\sec(\pi+2\pi k)=-1

Поэтому множество значений равно

E=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)

Нулей у функции нет.

Прямые

x=\frac\pi2+\pi k

являются вертикальными асимптотами.

Используем

\sec x=\frac1{\cos x}

. Слева от

\frac{\pi}{2}

малый косинус положителен, справа — отрицателен: ветви уходят соответственно вверх и вниз. Слева от

3\frac{\pi}{2}

малый косинус отрицателен, справа — положителен: направления меняются.

Знак секанса совпадает со знаком косинуса. Поэтому ветви, содержащие
точки

x=2\pi k

, лежат в полуплоскости

y\ge1

, а ветви, содержащие
точки

x=\pi+2\pi k

, — в полуплоскости

y\le-1

.

Косинус возрастает на

[-\pi,0]

и убывает на

[0,\pi]

. На промежутках, где он сохраняет знак, обратная величина меняется в противоположном направлении. На промежутке

\left(-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right)

функция убывает
до значения

1

при

x=0

, а затем возрастает. На промежутке

\left(\dfrac\pi2,\dfrac{3\pi}{2}\right)

она возрастает до значения

-1

при

x=\pi

, а затем убывает. Это поведение периодически повторяется.

Проводим вертикальные асимптоты, отмечаем вершины

(-\pi,-1)

(0,1)

(\pi,-1)

. Между соседними асимптотами строим
положительные и отрицательные ветви, доводя их до границ окна. график к задаче Демидовича № 291