Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 291

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики тригонометрических функций:

Задача 291

y=\sec x

Построение

Идея

По определению

\sec x=\frac1{\cos x}

поэтому функция не определена в нулях косинуса:

D=\mathbb R\setminus\left\{\frac\pi2+\pi k\mid k\in\mathbb Z\right\}

Она является чётной и имеет наименьший положительный период

2\pi

\sec(-x)=\sec x\qquad\sec(x+2\pi)=\sec x

Следовательно, график симметричен относительно оси

Oy

1
Поскольку $|\cos x|\le1$ и $\cos x\ne0$ в области определения, $|\sec x|=\frac1{|\cos x|}\ge1$ Значения $1$ и $-1$ действительно достигаются: $\sec(2\pi k)=1\qquad\sec(\pi+2\pi k)=-1$ Поэтому множество значений равно $E=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$ Нулей у функции нет.

Идея. Прямые $x=\frac\pi2+\pi k$ являются вертикальными асимптотами. Например, $\begin{aligned}\lim_{x\to\frac\pi2-}\sec x&=+\infty&\lim_{x\to\frac\pi2+}\sec x&=-\infty\\\lim_{x\to\frac{3\pi}{2}-}\sec x&=-\infty&\lim_{x\to\frac{3\pi}{2}+}\sec x&=+\infty\end{aligned}$ Знак секанса совпадает со знаком косинуса. Поэтому ветви, содержащие
точки $x=2\pi k$ , лежат в полуплоскости $y\ge1$ , а ветви, содержащие
точки $x=\pi+2\pi k$ , — в полуплоскости $y\le-1$ .

Производная имеет вид $(\sec x)'=\sec x\operatorname{tg}x$ На промежутке $\left(-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right)$ функция убывает
до значения $1$ при $x=0$ , а затем возрастает. На промежутке
$\left(\dfrac\pi2,\dfrac{3\pi}{2}\right)$ она возрастает до значения
$-1$ при $x=\pi$ , а затем убывает. Это поведение периодически повторяется.
2
Построение графика
Проводим вертикальные асимптоты, отмечаем вершины
$(-\pi,-1)$ , $(0,1)$ и $(\pi,-1)$ . Между соседними асимптотами строим
положительные и отрицательные ветви, доводя их до границ окна. $график к задаче Демидовича № 291$