Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 294

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики тригонометрических функций:

Задача 294

y=sin⁡3xy=\sin^3x
ПостроениеФункция нечётная, имеет период 2π2\pi и множество значений
[−1,1][-1,1].

Построение

Функция определена при всех действительных xx. Так как
−1⩽sin⁡x⩽1-1\leqslant\sin x\leqslant1 и возведение в третью степень сохраняет
порядок чисел, множество значений равно [−1,1][-1,1].

Функция нечётная:f(−x)=sin⁡3(−x)=−sin⁡3x=−f(x)f(-x)=\sin^3(-x)=-\sin^3x=-f(x)поэтому график симметричен относительно начала координат. Число 2π2\pi
является периодом функции. Сдвиг на π\pi меняет знак значения:sin⁡3(x+π)=−sin⁡3x\sin^3(x+\pi)=-\sin^3xпоэтому π\pi периодом не является.

Нули функции имеют видx=kπk∈Zx=k\pi\qquad k\in\mathbb ZНаибольшее значение 11 достигается приx=π2+2πkx=\frac{\pi}{2}+2\pi kа наименьшее значение −1-1 — приx=−π2+2πkx=-\frac{\pi}{2}+2\pi kВозведение в куб строго сохраняет порядок действительных чисел. Поэтому функция sin⁡3x\sin^3x имеет те же промежутки возрастания и убывания, что и синус: возрастает на [−π2+2πk,π2+2πk][-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\frac{\pi}{2}+2\pi k] и убывает на [π2+2πk,3π2+2πk][\frac{\pi}{2}+2\pi k,3\frac{\pi}{2}+2\pi k].

При 0<∣sin⁡x∣<10<|\sin x|<1 имеем ∣sin⁡3x∣<∣sin⁡x∣|\sin^3x|<|\sin x|. Значит, между нулями и вершинами новая кривая ближе к оси OxOx, чем синусоида. Около нуля x=kπx=k\pi, положив h=x−kπh=x-k\pi, получаем ∣sin⁡3x∣=∣sin⁡h∣3≤∣h∣3|\sin^3x|=|\sin h|^3\leq|h|^3. Поэтому отношение ∣y∣∣h∣\frac{|y|}{|h|} не превосходит h2h^2: ветвь пересекает ось, очень полого приближаясь к ней.

Минимальность периода 2π2\pi следует из того же сохранения порядка: равенство sin⁡3(x+T)=sin⁡3x\sin^3(x+T)=\sin^3x равносильно sin⁡(x+T)=sin⁡x\sin(x+T)=\sin x, а наименьший положительный период синуса равен 2π2\pi.

Построение графика

На промежутке длины 2π2\pi отмечаем нули, максимум и
минимум. Между ними проводим кривую, полученную возведением ординат синусоиды в куб, затем повторяем график с периодом 2π2\pi.график к задаче Демидовича № 294