Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 294

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики тригонометрических функций:

Задача 294

y=\sin^3x

ПостроениеФункция нечётная, имеет период

2\pi

и множество значений

[-1,1]

Построение

Идея

Функция определена при всех действительных

x

. Так как

-1\leqslant\sin x\leqslant1

и возведение в третью степень сохраняет
порядок чисел, множество значений равно

[-1,1]

1
Функция нечётная: $f(-x)=\sin^3(-x)=-\sin^3x=-f(x)$ поэтому график симметричен относительно начала координат. Число $2\pi$
является периодом функции. Сдвиг на $\pi$ меняет знак значения: $\sin^3(x+\pi)=-\sin^3x$ поэтому $\pi$ периодом не является.

Нули функции имеют вид $x=k\pi\qquad k\in\mathbb Z$ Наибольшее значение $1$ достигается при $x=\frac{\pi}{2}+2\pi k$ а наименьшее значение $-1$ — при $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k$ Идея. Производная равна $y'=3\sin^2x\cos x$ Множитель $3\sin^2x$ неотрицателен, поэтому знак производной вне точек
$x=k\pi$ совпадает со знаком $\cos x$ . Следовательно, при каждом целом
$k$ функция возрастает на $\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\frac{\pi}{2}+2\pi k\right)$ и убывает на $\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k,\frac{3\pi}{2}+2\pi k\right)$ В точках $x=k\pi$ производная обращается в нуль, но знак производной не
меняется. Поэтому экстремумов в этих точках нет: график пересекает ось
$Ox$ с горизонтальной касательной. Действительно, $y''=3\sin x\bigl(2-3\sin^2x\bigr)$ и в окрестности каждого числа $k\pi$ вторая производная меняет знак.
Значит, точки $(k\pi,0)$ являются стационарными точками перегиба.
2
Построение графика
На промежутке длины $2\pi$ отмечаем нули, максимум и
минимум. Между ними проводим плавную кривую с горизонтальными касательными
во всех отмеченных точках, затем повторяем график с периодом $2\pi$ . $график к задаче Демидовича № 294$

Проверка

Ответ. Функция нечётная, имеет период

2\pi

и множество значений

[-1,1]