Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 288

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики тригонометрических функций:

Задача 288

y=cos⁡xy=\cos x

Построение

Функция y=cos⁡xy=\cos x определена при всех x∈Rx\in\mathbb R и принимает
значения от −1-1 до 11:D=RE=[−1,1]D=\mathbb R
\qquad
E=[-1,1]Она является чётной, посколькуcos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x)=\cos xпоэтому её график симметричен относительно оси OyOy. Наименьший
положительный период равен 2π2\pi.

Косинусоиду можно получить из синусоиды переносом влево на
π2\dfrac\pi2:cos⁡x=sin⁡(x+π2)\cos x=\sin\left(x+\frac\pi2\right)Отсюда видны её основные характерные точки. Максимальное значение 11
достигается приx=2πkx=2\pi kминимальное значение −1-1 — приx=π+2πkx=\pi+2\pi kа нули имеют видx=π2+πkk∈Zx=\frac\pi2+\pi k
\qquad k\in\mathbb ZНа единичной окружности косинус — горизонтальная координата точки. При движении по верхней полуокружности от угла 00 до π\pi эта координата убывает от 11 до −1-1; на следующей полуокружности возрастает от −1-1 до 11. Поэтому косинус убывает на [2kπ,(2k+1)π][2k\pi,(2k+1)\pi] и возрастает на [(2k−1)π,2kπ][(2k-1)\pi,2k\pi], где k∈Zk\in\mathbb Z.

На одном периоде получаем следующую таблицу.таблица к задаче Демидовича № 288

Построение графика

Отмечаем максимумы, минимумы и нули, после чего
периодически продолжаем плавную кривую в обе стороны.график к задаче Демидовича № 288

График называется косинусоидой.
Демидович № 288 — решение | Высшая математика — Профиматика