Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 288

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики тригонометрических функций:

y=\cos x

Построение

Идея

Функция

y=\cos x

определена при всех

x\in\mathbb R

и принимает
значения от

-1

до

1

D=\mathbb R\qquadE=[-1,1]

Она является чётной, поскольку

\cos(-x)=\cos x

поэтому её график симметричен относительно оси

Oy

. Наименьший
положительный период равен

2\pi

1
Идея. Косинусоиду можно получить из синусоиды переносом влево на
$\dfrac\pi2$ : $\cos x=\sin\left(x+\frac\pi2\right)$ Отсюда видны её основные характерные точки. Максимальное значение $1$
достигается при $x=2\pi k$ минимальное значение $-1$ — при $x=\pi+2\pi k$ а нули имеют вид $x=\frac\pi2+\pi k\qquad k\in\mathbb Z$ Производная равна $y'=-\sin x$ Поэтому функция возрастает на промежутках $((2k-1)\pi,2k\pi)$ и убывает на промежутках $(2k\pi,(2k+1)\pi)$ На одном периоде получаем следующую таблицу. $таблица к задаче Демидовича № 288$
2
Построение графика
Отмечаем максимумы, минимумы и нули, после чего
периодически продолжаем плавную кривую в обе стороны. $график к задаче Демидовича № 288$

Проверка

График называется косинусоидой.