Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 299

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики функций:

Задача 299

y=sin⁡1xy=\sin\frac1x
ПостроениеD=R∖{0}D=\mathbb R\setminus\{0\}, E=[−1,1]E=[-1,1]; функция нечётная,
не имеет предела при x→0x\to0 и имеет горизонтальную асимптоту y=0y=0 при
∣x∣→∞|x|\to\infty.

Построение

Из-за дроби 1x\frac1x точка x=0x=0 не входит в область определения:D=R∖{0}D=\mathbb R\setminus\{0\}Функция нечётная, посколькуf(−x)=sin⁡(−1x)=−sin⁡1x=−f(x)f(-x)=\sin\left(-\frac1x\right)=-\sin\frac1x=-f(x)Её множество значений равно [−1,1][-1,1]: переменная u=1xu=\frac1x принимает
любое ненулевое действительное значение, а для каждого числа из [−1,1][-1,1]
можно выбрать ненулевое uu, при котором sin⁡u\sin u равно этому числу.

Нули функции находятся из равенства1x=kπ\frac1x=k\piЗначение k=0k=0 невозможно, поэтомуx=1kπ,k∈Z∖{0}x=\frac1{k\pi},
\qquad
k\in\mathbb Z\setminus\{0\}Наибольшее значение 11 достигается приx=2π(4k+1),k∈Zx=\frac{2}{\pi(4k+1)},
\qquad
k\in\mathbb Zа наименьшее значение −1-1 — приx=2π(4k+3),k∈Zx=\frac{2}{\pi(4k+3)},
\qquad
k\in\mathbb ZНа каждой стороне от нуля аргумент u=1xu=\frac{1}{x} строго убывает. Поэтому между соседними вершинами синусоиды график проходит соответствующую дугу в обратном направлении; внутри такой дуги новых поворотов нет.

Для больших ∣x∣|x| используем геометрическую оценку ∣sin⁡t∣≤∣t∣|\sin t|\leq|t|, обоснованную в №217:∣sin⁡1x∣≤1∣x∣.\left|\sin\frac1x\right|\leq\frac1{|x|}.Правая часть становится сколь угодно малой, поэтому график приближается к оси OxOx и y=0y=0 является горизонтальной асимптотой.

При x→0x\to0 предела нет. Например, последовательностиxn=2π(4n+1),zn=2π(4n+3)x_n=\frac{2}{\pi(4n+1)},
\qquad
z_n=\frac{2}{\pi(4n+3)}стремятся к нулю при n→∞n\to\infty, ноf(xn)=1,f(zn)=−1f(x_n)=1,
\qquad
f(z_n)=-1Поэтому около начала координат график бесконечно много раз колеблется между
прямыми y=−1y=-1 и y=1y=1. Точки графика с абсциссой 00 нет.

Построение графика

Строим правую половину графика, отмечая несколько первых
нулей x=1kπx=\frac1{k\pi} и всё более частые колебания при x→0+x\to0+. Левую
половину получаем симметрией относительно начала координат.график к задаче Демидовича № 299