Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 299

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики функций:

Задача 299

y=sin⁡1xy=\sin\frac1x
ПостроениеD=R∖{0}D=\mathbb R\setminus\{0\}, E=[−1,1]E=[-1,1]; функция нечётная,
не имеет предела при x→0x\to0 и имеет горизонтальную асимптоту y=0y=0 при
∣x∣→∞|x|\to\infty.

Построение

Идея

Из-за дроби 1x\frac1x точка x=0x=0 не входит в область определения:D=R∖{0}D=\mathbb R\setminus\{0\}Функция нечётная, посколькуf(−x)=sin⁡(−1x)=−sin⁡1x=−f(x)f(-x)=\sin\left(-\frac1x\right)=-\sin\frac1x=-f(x)Её множество значений равно [−1,1][-1,1]: переменная u=1xu=\frac1x принимает
любое ненулевое действительное значение, а для каждого числа из [−1,1][-1,1]
можно выбрать ненулевое uu, при котором sin⁡u\sin u равно этому числу.
  1. 1
    Нули функции находятся из равенства1x=kπ\frac1x=k\piЗначение k=0k=0 невозможно, поэтомуx=1kπ,k∈Z∖{0}x=\frac1{k\pi},
    \qquad
    k\in\mathbb Z\setminus\{0\}    Наибольшее значение 11 достигается приx=2π(4k+1),k∈Zx=\frac{2}{\pi(4k+1)},
    \qquad
    k\in\mathbb Z    а наименьшее значение −1-1 — приx=2π(4k+3),k∈Zx=\frac{2}{\pi(4k+3)},
    \qquad
    k\in\mathbb Z    Идея. В области определения производная равнаy′=−cos⁡1xx2y'=-\frac{\cos\frac1x}{x^2}Она меняет знак в найденных точках экстремума, поэтому между соседними
    максимумами и минимумами график проходит монотонно.

    При ∣x∣→∞|x|\to\infty аргумент синуса стремится к нулю. Используя предел
    sin⁡tt→1\frac{\sin t}{t}\to1 при t→0t\to0, получаемsin⁡1x∼1x\sin\frac1x\sim\frac1xСледовательно,lim⁡x→±∞sin⁡1x=0\lim_{x\to\pm\infty}\sin\frac1x=0и прямая y=0y=0 является горизонтальной асимптотой.

    При x→0x\to0 предела нет. Например, последовательностиxn=2π(4n+1),zn=2π(4n+3)x_n=\frac{2}{\pi(4n+1)},
    \qquad
    z_n=\frac{2}{\pi(4n+3)}    стремятся к нулю при n→∞n\to\infty, ноf(xn)=1,f(zn)=−1f(x_n)=1,
    \qquad
    f(z_n)=-1    Поэтому около начала координат график бесконечно много раз колеблется между
    прямыми y=−1y=-1 и y=1y=1. Точки графика с абсциссой 00 нет.
  2. 2

    Построение графика

    Строим правую половину графика, отмечая несколько первых
    нулей x=1kπx=\frac1{k\pi} и всё более частые колебания при x→0+x\to0+. Левую
    половину получаем симметрией относительно начала координат.график к задаче Демидовича № 299

Проверка

Ответ. D=R∖{0}D=\mathbb R\setminus\{0\}, E=[−1,1]E=[-1,1]; функция нечётная,
не имеет предела при x→0x\to0 и имеет горизонтальную асимптоту y=0y=0 при
∣x∣→∞|x|\to\infty.
Демидович № 299 — решение и ответ