Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 300

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики функций:

Задача 300

а) y=cos⁡πxб) y=sin⁡x⋅sin⁡1x\text{а) }y=\cos\frac\pi x
\qquad
\text{б) }y=\sin x\cdot\sin\frac1x
ПостроениеВ пункте а) функция чётная, имеет множество значений [−1,1][-1,1],
не имеет предела при x→0x\to0 и имеет асимптоту y=1y=1. В пункте б) функция
чётная, имеет устранимый разрыв в точке x=0x=0 и асимптоту y=0y=0.

Построение

  1. 1

    Пункт а)

    Функция y=cos⁡πxy=\cos\frac\pi x.

    Область определения равна R∖{0}\mathbb R\setminus\{0\}. Функция чётная:f(−x)=cos⁡(−πx)=cos⁡πx=f(x)f(-x)=\cos\left(-\frac\pi x\right)=\cos\frac\pi x=f(x)Множество значений равно [−1,1][-1,1].

    Нули, максимумы и минимумы определяются значениями аргумента косинуса:cos⁡πx=0⟺x=22k+1,k∈Zcos⁡πx=1⟺x=12k,k∈Z∖{0}cos⁡πx=−1⟺x=12k+1,k∈Z\begin{aligned}
    \cos\frac\pi x=0
    &\quad\Longleftrightarrow\quad
    x=\frac{2}{2k+1},
    &&k\in\mathbb Z\\
    \cos\frac\pi x=1
    &\quad\Longleftrightarrow\quad
    x=\frac1{2k},
    &&k\in\mathbb Z\setminus\{0\}\\
    \cos\frac\pi x=-1
    &\quad\Longleftrightarrow\quad
    x=\frac1{2k+1},
    &&k\in\mathbb Z
    \end{aligned}    Производнаяy′=πx2sin⁡πxy'=\frac{\pi}{x^2}\sin\frac\pi xподтверждает чередование максимумов и минимумов между соседними нулями.

    При ∣x∣→∞|x|\to\infty имеем πx→0\frac\pi x\to0, поэтомуlim⁡x→±∞cos⁡πx=1\lim_{x\to\pm\infty}\cos\frac\pi x=1Прямая y=1y=1 является горизонтальной асимптотой. При x→0x\to0 предела нет:
    для последовательностей xn=12nx_n=\frac1{2n} и zn=12n+1z_n=\frac1{2n+1} получаем
    соответственно значения 11 и −1-1.
  2. 2

    Построение графика

    На положительной полуоси отмечаем несколько первых нулей
    и экстремумов. Колебания сгущаются около x=0x=0, а при удалении от нуля график
    приближается к прямой y=1y=1. Вторую половину строим по чётности.график к задаче Демидовича № 300
  3. 3

    Пункт б)

    Функция y=sin⁡xsin⁡1xy=\sin x\sin\frac1x.

    Область определения снова равна R∖{0}\mathbb R\setminus\{0\}. Произведение
    двух нечётных функций является чётной функцией:f(−x)=sin⁡(−x)sin⁡(−1x)=f(x)f(-x)=\sin(-x)\sin\left(-\frac1x\right)=f(x)Нули функции имеют два вида:x=kπ,k∈Z∖{0}x=k\pi,
    \qquad
    k\in\mathbb Z\setminus\{0\}    илиx=1kπ,k∈Z∖{0}x=\frac1{k\pi},
    \qquad
    k\in\mathbb Z\setminus\{0\}    Точка x=0x=0 не является нулём, поскольку она не входит в область определения.

    При x→0x\to0 используем оценку∣sin⁡xsin⁡1x∣⩽∣sin⁡x∣⩽∣x∣\left|\sin x\sin\frac1x\right|\leqslant|\sin x|\leqslant|x|По теореме о двух милиционерахlim⁡x→0sin⁡xsin⁡1x=0\lim_{x\to0}\sin x\sin\frac1x=0Значит, в точке x=0x=0 имеется устранимый разрыв, и на графике нужно показать
    выколотую точку (0,0)(0,0).

    При ∣x∣→∞|x|\to\infty справедливо sin⁡1x∼1x\sin\frac1x\sim\frac1x, поэтомуsin⁡xsin⁡1x∼sin⁡xx\sin x\sin\frac1x\sim\frac{\sin x}{x}и функция снова стремится к нулю. Следовательно, y=0y=0 — горизонтальная
    асимптота при ∣x∣→∞|x|\to\infty.
  4. 4

    Построение графика

    Около нуля строим колебания, заключённые между кривыми
    y=±∣sin⁡x∣y=\pm|\sin x| и стягивающиеся к выколотой точке (0,0)(0,0). При больших
    ∣x∣|x| амплитуда также уменьшается и график приближается к оси OxOx. На
    рисунке отмечены только перечисленные в тексте нули, попавшие в окно.график к задаче Демидовича № 300

Проверка

Ответ. В пункте а) функция чётная, имеет множество значений [−1,1][-1,1],
не имеет предела при x→0x\to0 и имеет асимптоту y=1y=1. В пункте б) функция
чётная, имеет устранимый разрыв в точке x=0x=0 и асимптоту y=0y=0.
Демидович № 300 — решение и ответ