Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 300

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики функций:

Задача 300

а) y=cos⁡πxб) y=sin⁡x⋅sin⁡1x\text{а) }y=\cos\frac\pi x
\qquad
\text{б) }y=\sin x\cdot\sin\frac1x
ПостроениеВ пункте а) функция чётная, имеет множество значений [−1,1][-1,1],
не имеет предела при x→0x\to0 и имеет асимптоту y=1y=1. В пункте б) функция
чётная, подходит к выколотой точке (0,0)(0,0) и имеет горизонтальную асимптоту y=0y=0.

Построение

Пункт а)

Функция y=cos⁡πxy=\cos\frac\pi x.

Область определения равна R∖{0}\mathbb R\setminus\{0\}. Функция чётная:f(−x)=cos⁡(−πx)=cos⁡πx=f(x)f(-x)=\cos\left(-\frac\pi x\right)=\cos\frac\pi x=f(x)Множество значений равно [−1,1][-1,1].

Нули, максимумы и минимумы определяются значениями аргумента косинуса:cos⁡πx=0⟺x=22k+1,k∈Zcos⁡πx=1⟺x=12k,k∈Z∖{0}cos⁡πx=−1⟺x=12k+1,k∈Z\begin{aligned}
\cos\frac\pi x=0
&\quad\Longleftrightarrow\quad
x=\frac{2}{2k+1},
&&k\in\mathbb Z\\
\cos\frac\pi x=1
&\quad\Longleftrightarrow\quad
x=\frac1{2k},
&&k\in\mathbb Z\setminus\{0\}\\
\cos\frac\pi x=-1
&\quad\Longleftrightarrow\quad
x=\frac1{2k+1},
&&k\in\mathbb Z
\end{aligned}Аргумент πx\frac{\pi}{x} убывает на каждой стороне от нуля. Поэтому участки монотонности косинуса проходятся в обратном порядке, сохраняя чередование максимумов и минимумов.

При большом ∣x∣|x| угол πx\frac{\pi}{x} мал, поэтому cos⁡(πx)\cos(\frac{\pi}{x}) близок к 11.

Прямая y=1y=1 является горизонтальной асимптотой. При x→0x\to0 предела нет:
для последовательностей xn=12nx_n=\frac1{2n} и zn=12n+1z_n=\frac1{2n+1} получаем
соответственно значения 11 и −1-1.

Построение графика

На положительной полуоси отмечаем несколько первых нулей
и экстремумов. Колебания сгущаются около x=0x=0, а при удалении от нуля график
приближается к прямой y=1y=1. Вторую половину строим по чётности.график к задаче Демидовича № 300

Пункт б)

Функция y=sin⁡xsin⁡1xy=\sin x\sin\frac1x.

Область определения снова равна R∖{0}\mathbb R\setminus\{0\}. Произведение
двух нечётных функций является чётной функцией:f(−x)=sin⁡(−x)sin⁡(−1x)=f(x)f(-x)=\sin(-x)\sin\left(-\frac1x\right)=f(x)Нули функции имеют два вида:x=kπ,k∈Z∖{0}x=k\pi,
\qquad
k\in\mathbb Z\setminus\{0\}илиx=1kπ,k∈Z∖{0}x=\frac1{k\pi},
\qquad
k\in\mathbb Z\setminus\{0\}Точка x=0x=0 не является нулём, поскольку она не входит в область определения.

Около нуля имеем∣sin⁡xsin⁡1x∣≤∣sin⁡x∣≤∣x∣.\left|\sin x\sin\frac1x\right|\leq|\sin x|\leq|x|.Значит, высота колебаний меньше любого ε>0\varepsilon>0, если 0<∣x∣<ε0<|x|<\varepsilon. Ветви подходят к точке (0,0)(0,0), но сама точка не входит в график.

При больших ∣x∣|x| используем другую оценку:∣sin⁡xsin⁡1x∣≤∣sin⁡1x∣≤1∣x∣.\left|\sin x\sin\frac1x\right|\leq\left|\sin\frac1x\right|\leq\frac1{|x|}.Таким образом, крайние ветви также приближаются к оси OxOx, и y=0y=0 является горизонтальной асимптотой. Для построения удобно заключить график между линиями y=±min⁡(∣x∣,1∣x∣)y=\pm\min(|x|,\frac{1}{|x|}) и отметить найденные нули. Между ними ординаты вычисляем как произведение двух синусов.

Построение графика

Около нуля строим колебания, заключённые между кривыми
y=±∣sin⁡x∣y=\pm|\sin x| и стягивающиеся к выколотой точке (0,0)(0,0). При больших
∣x∣|x| амплитуда также уменьшается и график приближается к оси OxOx. На
рисунке отмечены только перечисленные в тексте нули, попавшие в окно.график к задаче Демидовича № 300