Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 313

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики обратных круговых функций:

Задача 313

y=\operatorname{arctg}x

ПостроениеФункция нечётная, строго возрастает на

\mathbb R

и имеет
горизонтальные асимптоты

y=\pm\frac{\pi}{2}

Построение

Функция

y=\operatorname{arctg}x

обратна тангенсу на промежутке

\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)

. Поэтому

D=\mathbb R\qquadE=\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)

Функция нечётная:

\operatorname{arctg}(-x)=-\operatorname{arctg}x

и проходит через начало координат.

Тангенс строго возрастает на

(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})

, поэтому обратная функция тоже строго возрастает. Это доказывается сравнением двух аргументов так же, как в №311: обратный порядок углов противоречил бы возрастанию тангенса.

Для построения отражаем основную ветвь тангенса относительно прямой

y=x

. Точки

(-\frac{\pi}{4},-1),(0,0),(\frac{\pi}{4},1)

переходят в

(-1,-\frac{\pi}{4}),(0,0),(1,\frac{\pi}{4})

, а вертикальные направляющие

x=\pm\frac{\pi}{2}

превращаются в горизонтальные

y=\pm\frac{\pi}{2}

.

По определению арктангенса его значения лежат между

-\frac{\pi}{2}

\frac{\pi}{2}

. Тангенс принимает сколь угодно большие по модулю значения только вблизи концов этого промежутка. Поэтому левая ветвь арктангенса приближается к уровню

-\frac{\pi}{2}

, а правая — к

\frac{\pi}{2}

.

Значит, прямые

y=-\frac{\pi}{2}

y=\frac{\pi}{2}

являются
горизонтальными асимптотами.

Построение графика

Проводим две горизонтальные асимптоты. Между ними
строим нечётную возрастающую S-образную кривую через точку

(0,0)