Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 313

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики обратных круговых функций:

y=\operatorname{arctg}x

ПостроениеФункция нечётная, строго возрастает на

\mathbb R

и имеет
горизонтальные асимптоты

y=\pm\frac{\pi}{2}

Построение

Идея

Функция

y=\operatorname{arctg}x

обратна тангенсу на промежутке

\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)

. Поэтому

D=\mathbb R\qquadE=\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)

Функция нечётная:

\operatorname{arctg}(-x)=-\operatorname{arctg}x

и проходит через начало координат.

1
Идея. Производные равны $y'=\frac1{1+x^2}>0$ и $y''=-\frac{2x}{(1+x^2)^2}$ Следовательно, функция строго возрастает на всей числовой прямой. При
$x<0$ вторая производная положительна, а при $x>0$ отрицательна, поэтому
точка $(0,0)$ является точкой перегиба.

Предельные значения имеют вид $\lim_{x\to-\infty}\operatorname{arctg}x=-\frac{\pi}{2}\qquad\lim_{x\to+\infty}\operatorname{arctg}x=\frac{\pi}{2}$ Значит, прямые $y=-\frac{\pi}{2}$ и $y=\frac{\pi}{2}$ являются
горизонтальными асимптотами.
2
Построение графика
Проводим две горизонтальные асимптоты. Между ними
строим нечётную возрастающую S-образную кривую через точку $(0,0)$ . $график к задаче Демидовича № 313$

Проверка

Ответ. Функция нечётная, строго возрастает на

\mathbb R

и имеет
горизонтальные асимптоты

y=\pm\frac{\pi}{2}