Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 290

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики тригонометрических функций:

y=\operatorname{ctg}x

Построение

Идея

По определению

\operatorname{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}

поэтому функция не определена в нулях синуса:

D=\mathbb R\setminus\{\pi k\mid k\in\mathbb Z\}

Котангенс является нечётной функцией с наименьшим положительным периодом

\pi

\operatorname{ctg}(-x)=-\operatorname{ctg}x\qquad\operatorname{ctg}(x+\pi)=\operatorname{ctg}x

Его нули совпадают с нулями косинуса:

x=\frac\pi2+\pi k\qquad k\in\mathbb Z

1
Прямые $x=\pi k$ являются вертикальными асимптотами. На основном
промежутке $(0,\pi)$ имеем $\lim_{x\to0+}\operatorname{ctg}x=+\infty\qquad\lim_{x\to\pi-}\operatorname{ctg}x=-\infty$ При $k=0$ асимптота $x=0$ совпадает с осью $Oy$ .

Идея. Производная отрицательна во всех точках области определения: $(\operatorname{ctg}x)'=-\frac1{\sin^2x}<0$ Следовательно, котангенс строго убывает на каждом промежутке $(\pi k,\pi(k+1))$ и принимает на нём все действительные значения. Поэтому $E=\mathbb R$ Характерные значения на каждой ветви имеют вид $\operatorname{ctg}\left(\frac\pi4+\pi k\right)=1\qquad\operatorname{ctg}\left(\frac\pi2+\pi k\right)=0\qquad\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{4}+\pi k\right)=-1$
2
Построение графика
Проводим асимптоты $x=\pi k$ . В каждом промежутке
между соседними асимптотами строим убывающую ветвь, которая пересекает
ось $Ox$ при $x=\dfrac\pi2+\pi k$ и доходит до обеих горизонтальных
границ окна. $график к задаче Демидовича № 290$