Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 290

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики тригонометрических функций:

Задача 290

y=ctg⁡xy=\operatorname{ctg}x

Построение

По определениюctg⁡x=cos⁡xsin⁡x\operatorname{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}поэтому функция не определена в нулях синуса:D=R∖{πk∣k∈Z}D=\mathbb R\setminus\{\pi k\mid k\in\mathbb Z\}Котангенс является нечётной функцией с наименьшим положительным периодом
π\pi:ctg⁡(−x)=−ctg⁡xctg⁡(x+π)=ctg⁡x\operatorname{ctg}(-x)=-\operatorname{ctg}x
\qquad
\operatorname{ctg}(x+\pi)=\operatorname{ctg}xЕго нули совпадают с нулями косинуса:x=π2+πkk∈Zx=\frac\pi2+\pi k
\qquad k\in\mathbb ZПрямые x=πkx=\pi k являются вертикальными асимптотами. На (0,π)(0,\pi) синус положителен. Вблизи нуля числитель cos⁡x\cos x близок к 11, а знаменатель sin⁡x\sin x положителен и мал: котангенс неограниченно растёт. Вблизи π\pi числитель близок к −1-1, и котангенс неограниченно убывает.

При k=0k=0 асимптота x=0x=0 совпадает с осью OyOy.

Используем тождество ctg⁡x=tg⁡(π2−x)\operatorname{ctg}x=\operatorname{tg}(\frac{\pi}{2}-x). При увеличении xx от 00 до π\pi аргумент π2−x\frac{\pi}{2}-x убывает от π2\frac{\pi}{2} до −π2-\frac{\pi}{2}. Тангенс строго возрастает по своему аргументу, поэтому такая замена делает функцию убывающей. Следовательно, котангенс строго убывает на каждом промежутке(πk,π(k+1))(\pi k,\pi(k+1))и принимает на нём все действительные значения. ПоэтомуE=RE=\mathbb RХарактерные значения на каждой ветви имеют видctg⁡(π4+πk)=1ctg⁡(π2+πk)=0ctg⁡(3π4+πk)=−1\operatorname{ctg}\left(\frac\pi4+\pi k\right)=1
\qquad
\operatorname{ctg}\left(\frac\pi2+\pi k\right)=0
\qquad
\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{4}+\pi k\right)=-1

Построение графика

Проводим асимптоты x=πkx=\pi k. В каждом промежутке
между соседними асимптотами строим убывающую ветвь, которая пересекает
ось OxOx при x=π2+πkx=\dfrac\pi2+\pi k и доходит до обеих горизонтальных
границ окна.график к задаче Демидовича № 290
Демидович № 290 — решение | Высшая математика — Профиматика