Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 320

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики обратных круговых функций:

Задача 320

y=arccos⁡(cos⁡x)y=\arccos(\cos x)
ПостроениеФункция чётная, имеет период 2π2\pi и множество значений
[0,π][0,\pi].

Построение

Функция arccos⁡t\arccos t является обратной к косинусу, ограниченному на
[0,π][0,\pi], и принимает значения только из этого отрезка. Поэтому при
0⩽x⩽π0\leqslant x\leqslant\pi имеемarccos⁡(cos⁡x)=x\arccos(\cos x)=xНа симметричном промежутке [−π,0][-\pi,0] косинус чётный, откудаarccos⁡(cos⁡x)=∣x∣−π⩽x⩽π\arccos(\cos x)=|x|
\qquad -\pi\leqslant x\leqslant\piПосле учёта периода косинуса получаемarccos⁡(cos⁡x)=∣x−2πk∣,(2k−1)π⩽x⩽(2k+1)π\arccos(\cos x)=|x-2\pi k|,
\qquad
(2k-1)\pi\leqslant x\leqslant(2k+1)\piгде k∈Zk\in\mathbb Z.

Следовательно,D=RE=[0,π]D=\mathbb R
\qquad
E=[0,\pi]Функция чётная и имеет наименьший положительный период 2π2\pi. Нули
достигаются при x=2πkx=2\pi k, а максимумы, равные π\pi, — при
x=(2k+1)πx=(2k+1)\pi.

Построение графика

На каждом промежутке
[(2k−1)π,(2k+1)π][(2k-1)\pi,(2k+1)\pi] строим V-образную ломаную с вершиной
(2πk,0)(2\pi k,0) и концами на уровне y=πy=\pi.график к задаче Демидовича № 320