Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 320

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики обратных круговых функций:

y=\arccos(\cos x)

ПостроениеФункция чётная, имеет период

2\pi

и множество значений

[0,\pi]

Построение

Идея

Функция

\arccos t

является обратной к косинусу, ограниченному на

[0,\pi]

, и принимает значения только из этого отрезка. Поэтому при

0\leqslant x\leqslant\pi

имеем

\arccos(\cos x)=x

На симметричном промежутке

[-\pi,0]

косинус чётный, откуда

\arccos(\cos x)=|x|\qquad -\pi\leqslant x\leqslant\pi

После учёта периода косинуса получаем

\arccos(\cos x)=|x-2\pi k|,\qquad(2k-1)\pi\leqslant x\leqslant(2k+1)\pi

где

k\in\mathbb Z

1
Следовательно, $D=\mathbb R\qquadE=[0,\pi]$ Функция чётная и имеет наименьший положительный период $2\pi$ . Нули
достигаются при $x=2\pi k$ , а максимумы, равные $\pi$ , — при
$x=(2k+1)\pi$ .
2
Построение графика
На каждом промежутке
$[(2k-1)\pi,(2k+1)\pi]$ строим V-образную ломаную с вершиной
$(2\pi k,0)$ и концами на уровне $y=\pi$ . $график к задаче Демидовича № 320$

Проверка

Ответ. Функция чётная, имеет период

2\pi

и множество значений

[0,\pi]