Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 319

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики обратных круговых функций:

Задача 319

y=arcsin⁡(cos⁡x)y=\arcsin(\cos x)
ПостроениеФункция чётная, имеет период 2π2\pi и множество значений
[−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].

Построение

Идея

Используем равенствоcos⁡x=sin⁡(π2−x)\cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)и учитываем, что результат применения арксинуса всегда принадлежит
[−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]. На промежутке
[0,π][0,\pi] число π2−x\frac{\pi}{2}-x уже лежит в этом отрезке, поэтомуarcsin⁡(cos⁡x)=π2−x0⩽x⩽π\arcsin(\cos x)=\frac{\pi}{2}-x
\qquad 0\leqslant x\leqslant\piС учётом периода 2π2\pi и симметрии удобная запись имеет видarcsin⁡(cos⁡x)=π2−∣x−2πk∣,(2k−1)π⩽x⩽(2k+1)π\arcsin(\cos x)=
\frac{\pi}{2}-|x-2\pi k|,
\qquad
(2k-1)\pi\leqslant x\leqslant(2k+1)\piгде k∈Zk\in\mathbb Z.
  1. 1
    Функция определена на всей числовой прямой, является чётной и имеет
    наименьший положительный период 2π2\pi. Её множество значений равноE=[−π2,π2]E=\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]Максимумы π/2\pi/2 достигаются при x=2πkx=2\pi k, минимумы −π/2-\pi/2 —
    при x=(2k+1)πx=(2k+1)\pi, а нули имеют видx=π2+πkx=\frac{\pi}{2}+\pi k
  2. 2

    Построение графика

    Строим ломаную на одном промежутке длины 2π2\pi:
    от максимума она спускается через нуль к минимуму и затем поднимается к
    следующему максимуму. После этого повторяем ломаную с периодом 2π2\pi.график к задаче Демидовича № 319

Проверка

Ответ. Функция чётная, имеет период 2π2\pi и множество значений
[−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].
Демидович № 319 — решение и ответ