Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 289

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики тригонометрических функций:

Задача 289

y=\operatorname{tg}x

Построение

Идея

По определению

\operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}

поэтому из области определения необходимо исключить нули косинуса:

D=\mathbb R\setminus\left\{\frac\pi2+\pi k\mid k\in\mathbb Z\right\}

Функция нечётная и имеет наименьший положительный период

\pi

\operatorname{tg}(-x)=-\operatorname{tg}x\qquad\operatorname{tg}(x+\pi)=\operatorname{tg}x

Следовательно, график симметричен относительно начала координат, а все
его ветви получаются друг из друга переносом на

\pi k

вдоль оси

Ox

1
Нули тангенса совпадают с нулями синуса: $x=\pi k\qquad k\in\mathbb Z$ Прямые $x=\frac\pi2+\pi k$ являются вертикальными асимптотами. На промежутке
$\left(-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right)$ выполняется $\lim_{x\to-\frac\pi2+}\operatorname{tg}x=-\infty\qquad\lim_{x\to\frac\pi2-}\operatorname{tg}x=+\infty$ Идея. Производная тангенса положительна во всех точках области
определения: $(\operatorname{tg}x)'=\frac1{\cos^2x}>0$ Поэтому функция строго возрастает на каждом промежутке $\left(-\frac\pi2+\pi k,\frac\pi2+\pi k\right)$ и принимает на нём все действительные значения. Следовательно, $E=\mathbb R$ В качестве опорных точек можно использовать $\operatorname{tg}\left(-\frac\pi4+\pi k\right)=-1\qquad\operatorname{tg}(\pi k)=0\qquad\operatorname{tg}\left(\frac\pi4+\pi k\right)=1$
2
Построение графика
Проводим вертикальные асимптоты. Между каждой парой
соседних асимптот строим возрастающую ветвь, пересекающую ось $Ox$ в
точке $(\pi k,0)$ . Концы каждой видимой ветви доходят до верхней и
нижней границ координатного окна. $график к задаче Демидовича № 289$