Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 289

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики тригонометрических функций:

Задача 289

y=tg⁡xy=\operatorname{tg}x

Построение

По определениюtg⁡x=sin⁡xcos⁡x\operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}поэтому из области определения необходимо исключить нули косинуса:D=R∖{π2+πk∣k∈Z}D=\mathbb R\setminus
\left\{\frac\pi2+\pi k\mid k\in\mathbb Z\right\}Функция нечётная и имеет наименьший положительный период π\pi:tg⁡(−x)=−tg⁡xtg⁡(x+π)=tg⁡x\operatorname{tg}(-x)=-\operatorname{tg}x
\qquad
\operatorname{tg}(x+\pi)=\operatorname{tg}xСледовательно, график симметричен относительно начала координат, а все
его ветви получаются друг из друга переносом на πk\pi k вдоль оси OxOx.

Нули тангенса совпадают с нулями синуса:x=πkk∈Zx=\pi k
\qquad k\in\mathbb ZПрямыеx=π2+πkx=\frac\pi2+\pi kявляются вертикальными асимптотами.

На (−π2,π2)(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) косинус положителен. Вблизи левого конца синус близок к −1-1, а косинус положителен и мал: тангенс неограниченно убывает. Вблизи правого конца синус близок к 11, и тангенс неограниченно возрастает.

Для −π2<x1<x2<π2-\frac{\pi}{2}<x_1<x_2<\frac{\pi}{2} формула разности тангенсов даётtg⁡x2−tg⁡x1=sin⁡(x2−x1)cos⁡x1cos⁡x2>0.\operatorname{tg}x_2-\operatorname{tg}x_1
=\frac{\sin(x_2-x_1)}{\cos x_1\cos x_2}>0.Здесь оба косинуса положительны, а 0<x2−x1<π0<x_2-x_1<\pi, так что синус тоже положителен. Периодичность переносит это сравнение на каждую ветвь. Поэтому функция строго возрастает на каждом промежутке(−π2+πk,π2+πk)\left(-\frac\pi2+\pi k,\frac\pi2+\pi k\right)и принимает на нём все действительные значения. Следовательно,E=RE=\mathbb RВ качестве опорных точек можно использоватьtg⁡(−π4+πk)=−1tg⁡(πk)=0tg⁡(π4+πk)=1\operatorname{tg}\left(-\frac\pi4+\pi k\right)=-1
\qquad
\operatorname{tg}(\pi k)=0
\qquad
\operatorname{tg}\left(\frac\pi4+\pi k\right)=1

Построение графика

Проводим вертикальные асимптоты. Между каждой парой
соседних асимптот строим возрастающую ветвь, пересекающую ось OxOx в
точке (πk,0)(\pi k,0). Концы каждой видимой ветви доходят до верхней и
нижней границ координатного окна.график к задаче Демидовича № 289
Демидович № 289 — решение | Высшая математика — Профиматика