Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 293

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики тригонометрических функций:

Задача 293

y=sin⁡2xy=\sin^2x
ПостроениеФункция чётная, имеет период π\pi и множество значений
[0,1][0,1].

Построение

Идея

Область определения функции совпадает со всей числовой прямой. Поскольку
0⩽∣sin⁡x∣⩽10\leqslant |\sin x|\leqslant1, имеем0⩽sin⁡2x⩽10\leqslant\sin^2x\leqslant1На отрезке [0,π2]\left[0,\frac{\pi}{2}\right] функция sin⁡x\sin x непрерывно
возрастает от 00 до 11, поэтому sin⁡2x\sin^2x принимает каждое значение от
00 до 11. Следовательно, множество значений функции равно [0,1][0,1].
  1. 1
    Функция чётная:f(−x)=sin⁡2(−x)=sin⁡2x=f(x)f(-x)=\sin^2(-x)=\sin^2x=f(x)поэтому её график симметричен относительно оси OyOy. Кроме того,sin⁡2(x+π)=(−sin⁡x)2=sin⁡2x\sin^2(x+\pi)=(-\sin x)^2=\sin^2xто есть функция периодическая с периодом π\pi.

    Нули и точки максимума находятся непосредственно из значений синуса:sin⁡2x=0⟺x=kπk∈Zsin⁡2x=1⟺x=π2+kπk∈Z\begin{aligned}
    \sin^2x&=0
    &&\Longleftrightarrow&
    x&=k\pi\qquad k\in\mathbb Z\\
    \sin^2x&=1
    &&\Longleftrightarrow&
    x&=\frac{\pi}{2}+k\pi\qquad k\in\mathbb Z
    \end{aligned}    Идея. Для определения промежутков изменения вычислим производную:y′=2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2xy'=2\sin x\cos x=\sin2xНа каждом промежутке (kπ,kπ+π2)\left(k\pi,k\pi+\frac{\pi}{2}\right) производная
    положительна, а на
    (kπ+π2,(k+1)π)\left(k\pi+\frac{\pi}{2},(k+1)\pi\right) отрицательна. Поэтому функция
    возрастает от 00 до 11, а затем убывает от 11 до 00. Точки
    x=kπx=k\pi являются точками минимума, а
    x=π2+kπx=\frac{\pi}{2}+k\pi — точками максимума.

    Тот же вид графика можно получить из тождестваsin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}График косинуса сначала сжимается вдоль оси OxOx в два раза, отражается
    относительно этой оси, затем сжимается вдоль оси OyOy в два раза и
    поднимается на 12\frac12.
  2. 2

    Построение графика

    На одном промежутке длины π\pi отмечаем нули на его
    концах и точку максимума посередине. Полученную дугу повторяем с периодом
    π\pi и учитываем симметрию относительно оси OyOy.график к задаче Демидовича № 293

Проверка

Ответ. Функция чётная, имеет период π\pi и множество значений
[0,1][0,1].
Демидович № 293 — решение и ответ