Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 293

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики тригонометрических функций:

Задача 293

y=sin⁡2xy=\sin^2x
ПостроениеФункция чётная, имеет период π\pi и множество значений
[0,1][0,1].

Построение

Область определения функции совпадает со всей числовой прямой. Поскольку
0⩽∣sin⁡x∣⩽10\leqslant |\sin x|\leqslant1, имеем0⩽sin⁡2x⩽10\leqslant\sin^2x\leqslant1На отрезке [0,π2]\left[0,\frac{\pi}{2}\right] функция sin⁡x\sin x возрастает от 00 до 11 и принимает все значения
между ними. Поэтому sin⁡2x\sin^2x также принимает каждое значение от 00 до 11. Следовательно, множество значений функции равно [0,1][0,1].

Функция чётная:f(−x)=sin⁡2(−x)=sin⁡2x=f(x)f(-x)=\sin^2(-x)=\sin^2x=f(x)поэтому её график симметричен относительно оси OyOy. Кроме того,sin⁡2(x+π)=(−sin⁡x)2=sin⁡2x\sin^2(x+\pi)=(-\sin x)^2=\sin^2xто есть функция периодическая с периодом π\pi.

Нули и точки максимума находятся непосредственно из значений синуса:sin⁡2x=0⟺x=kπk∈Zsin⁡2x=1⟺x=π2+kπk∈Z\begin{aligned}
\sin^2x&=0
&&\Longleftrightarrow&
x&=k\pi\qquad k\in\mathbb Z\\
\sin^2x&=1
&&\Longleftrightarrow&
x&=\frac{\pi}{2}+k\pi\qquad k\in\mathbb Z
\end{aligned}На [0,π2][0,\frac{\pi}{2}] синус возрастает от 00 до 11, а на [π2,π][\frac{\pi}{2},\pi] убывает до нуля. Все эти значения неотрицательны, поэтому возведение в квадрат сохраняет направление. Получаем возрастание до высоты 11 и убывание до нуля. Периодичность повторяет эту дугу на каждом отрезке [kπ,(k+1)π][k\pi,(k+1)\pi].

Тот же вид графика можно получить из тождестваsin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}График косинуса сначала сжимается вдоль оси OxOx в два раза, отражается
относительно этой оси, затем сжимается вдоль оси OyOy в два раза и
поднимается на 12\frac12.

Построение графика

На одном промежутке длины π\pi отмечаем нули на его
концах и точку максимума посередине. Полученную дугу повторяем с периодом
π\pi и учитываем симметрию относительно оси OyOy.график к задаче Демидовича № 293