Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 268

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики иррациональных функций:

Задача 268

y=±12100−x2y=\pm\dfrac12\sqrt{100-x^2}(эллипс).

Построение

Идея

Условие существования квадратного корня имеет вид100−x2≥0⟺−10≤x≤10100-x^2\ge0
\quad\Longleftrightarrow\quad
-10\le x\le10Следовательно,D=[−10,10]D=[-10,10]
  1. 1
    Идея. Возведём равенство в квадрат и приведём его к каноническому
    виду:4y2=100−x2⟺x2100+y225=14y^2=100-x^2
    \quad\Longleftrightarrow\quad
    \dfrac{x^2}{100}+\dfrac{y^2}{25}=1    Получили эллипс с центром в начале координат. Его большая полуось
    равна 1010 и направлена вдоль OxOx, а малая полуось равна 55 и
    направлена вдоль OyOy. Знак ++ задаёт верхнюю половину эллипса,
    знак −- — нижнюю.

    Кривая симметрична относительно обеих координатных осей. Она
    пересекает оси в точках(−10,0),(10,0),(0,−5),(0,5)(-10,0),
    \qquad
    (10,0),
    \qquad
    (0,-5),
    \qquad
    (0,5)    Дополнительные опорные точки получаем при x=±6x=\pm6 и x=±8x=\pm8:(±6,±4),(±8,±3)(\pm6,\pm4),
    \qquad
    (\pm8,\pm3)    Знаки перед абсциссой и ординатой выбираются независимо, то есть для
    каждого указанного значения ∣x∣|x| получаются верхняя и нижняя точки.
    Множество значений всей кривой равноE=[−5,5]E=[-5,5]
  2. 2

    Построение графика

    Отмечаем четыре вершины эллипса и симметричные
    опорные точки. Соединяем их плавной замкнутой кривой; все четыре
    крайние точки входят в график.график к задаче Демидовича № 268
Демидович № 268 — решение