Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 286

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 286

Построить график функции y=sin⁡nxy=\sin nx, если
n=1,2,3,12,13n=1,2,3,\frac12,\frac13.
ПостроениеМножитель nn не меняет амплитуду синусоиды, но заменяет её
период 2π2\pi на 2πn\dfrac{2\pi}{n}.

Построение

Идея

Во всех пяти случаях n>0n>0, поэтому область определения равна R\mathbb R,
множество значений равно [−1,1][-1,1], а амплитуда равна 11.
Идея. Число nn изменяет масштаб вдоль оси OxOx. Период TT находим из
условия, что аргумент синуса увеличился на 2π2\pi:n(x+T)=nx+2π⟹T=2πnn(x+T)=nx+2\pi
\qquad\Longrightarrow\qquad
T=\frac{2\pi}{n}При n>1n>1 график сжимается вдоль оси OxOx в nn раз. При 0<n<10<n<1 он
растягивается вдоль оси OxOx в 1n\dfrac1n раз.

Нули функции имеют видsin⁡nx=0⟺nx=πk⟺x=πknk∈Z\sin nx=0
\quad\Longleftrightarrow\quad
nx=\pi k
\quad\Longleftrightarrow\quad
x=\frac{\pi k}{n}
\qquad k\in\mathbb ZМаксимумы достигаются при nx=π2+2πknx=\dfrac\pi2+2\pi k, а минимумы — при
nx=3π2+2πknx=\dfrac{3\pi}{2}+2\pi k.
Следовательно, их абсциссы равныxmax⁡=π2+2πkn=(4k+1)π2nxmin⁡=3π2+2πkn=(4k+3)π2nk∈Zx_{\max}=\frac{\frac\pi2+2\pi k}{n}
=\frac{(4k+1)\pi}{2n}
\qquad
x_{\min}=\frac{\frac{3\pi}{2}+2\pi k}{n}
=\frac{(4k+3)\pi}{2n}
\qquad k\in\mathbb Zтаблица к задаче Демидовича № 286

Чтобы кривые не накладывались слишком плотно, сначала изобразим случаи
n=1,2,3n=1,2,3.график к задаче Демидовича № 286

При n=12n=\dfrac12 и n=13n=\dfrac13 период увеличивается.график к задаче Демидовича № 286

Проверка

Ответ. Множитель nn не меняет амплитуду синусоиды, но заменяет её
период 2π2\pi на 2πn\dfrac{2\pi}{n}.
Демидович № 286 — решение и ответ