Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 258

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики дробных рациональных функций:

Задача 258

y=11−x2y=\frac1{1-x^2}

Построение

Идея

Функция определена приx≠−1x≠1x\ne-1
\qquad
x\ne1Она чётная, поэтому график симметричен относительно оси OyOy. Прямые
x=−1x=-1 и x=1x=1 являются вертикальными асимптотами, а из пределаlim⁡x→±∞11−x2=0\lim_{x\to\pm\infty}\frac1{1-x^2}=0следует, что y=0y=0 — горизонтальная асимптота.
  1. 1
    Знак знаменателя даётy>0при ∣x∣<1y<0при ∣x∣>1\begin{aligned}
    y&>0 &&\text{при }|x|<1\\
    y&<0 &&\text{при }|x|>1
    \end{aligned}    Нулей у функции нет, а f(0)=1f(0)=1.

    Идея. Производная равнаy′=2x(1−x2)2y'=\frac{2x}{(1-x^2)^2}Поэтому функция убывает на (−∞,−1)(-\infty,-1) и (−1,0)(-1,0), а возрастает на
    (0,1)(0,1) и (1,+∞)(1,+\infty). На среднем промежутке точка (0,1)(0,1) является
    точкой минимума. С учётом пределов у вертикальных асимптот множество
    значений имеет вид(−∞,0)∪[1,+∞)(-\infty,0)\cup[1,+\infty)
  2. 2

    Построение графика

    Проводим асимптоты x=±1x=\pm1 и y=0y=0. Между
    вертикальными асимптотами строим положительную ветвь с минимумом (0,1)(0,1);
    две внешние ветви располагаются ниже оси OxOx.график к задаче Демидовича № 258
Демидович № 258 — решение