Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 258

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики дробных рациональных функций:

y=\frac1{1-x^2}

Построение

Область определения —

\mathbb R\setminus\{-1,1\}

. Функция чётна, поэтому достаточно построить её при

x\geq0

. При

0\leq x<1

знаменатель положителен и убывает от

1

к нулю, а обратная величина возрастает от

1

без ограничения. При

x>1

удобна запись

f(x)=-\frac1{x^2-1}.

Положительный знаменатель возрастает, дробь

\frac{1}{(x^2-1)}

убывает, а её противоположное значение возрастает. Около

x=1

справа эта ветвь уходит вниз, а при больших

x

приближается к нулю снизу. Отражение относительно

Oy

даёт левую часть.

Таким образом, вертикальные асимптоты —

x=\pm1

, горизонтальная —

y=0

. На среднем промежутке график расположен выше оси

Ox

и имеет нижнюю точку

(0,1)

. Внешние ветви расположены ниже оси. Нулей нет.

Множество значений равно

(-\infty,0)\cup[1,+\infty)

. Для проверки решим равенство относительно квадрата аргумента:

x^2=1-\frac1y.

Правая часть неотрицательна ровно при указанных ненулевых

y

и никогда не равна

1

, так что найденные аргументы допустимы. график к задаче Демидовича № 258