Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 279

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 279

Построить график сложной показательной функции

y=e^{y_1}

, если:

\text{а) }y_1=x^2\quad\text{б) }y_1=-x^2\quad\text{в) }y_1=\frac1x

\text{г) }y_1=\frac1{x^2}\quad\text{д) }y_1=-\frac1{x^2}\quad\text{е) }y_1=\frac{2x}{1-x^2}

ПостроениеВсе шесть функций положительны. Их области определения,
асимптоты, монотонность и характерные точки указаны в соответствующих
разборах и согласованы с построенными графиками.

Построение

Идея

Экспонента положительна при любом действительном значении показателя. Поэтому
в каждом подпункте функция

e^{y_1}

не имеет нулей, а её область определения
совпадает с областью определения внутренней функции

y_1

1
Пункт а)
Функция $y=e^{x^2}$ .

Она определена на всей числовой прямой и является чётной. Поскольку $x^2\geqslant0$ , $e^{x^2}\geqslant1$ причём равенство достигается только при $x=0$ . Производная равна $y'=2xe^{x^2}$ Следовательно, функция убывает на $(-\infty,0)$ , возрастает на
$(0,+\infty)$ и имеет минимум $y_{\min}=1$ в точке $x=0$ . При
$x\to\pm\infty$ функция стремится к $+\infty$ , поэтому её множество
значений равно $[1,+\infty)$ .
2
Пункт б)
Функция $y=e^{-x^2}$ .

Эта функция также определена на $\mathbb R$ и является чётной. Имеем $0<e^{-x^2}\leqslant1$ Производная $y'=-2xe^{-x^2}$ положительна при $x<0$ и отрицательна при $x>0$ . Поэтому функция возрастает
на $(-\infty,0)$ , убывает на $(0,+\infty)$ и имеет максимум $y_{\max}=1$
при $x=0$ . Её множество значений равно $(0,1]$ . Кроме того, $\lim_{x\to\pm\infty}e^{-x^2}=0$ то есть $y=0$ является горизонтальной асимптотой.

Функции из подпунктов а) и б) связаны соотношением $e^{-x^2}=\frac1{e^{x^2}}$
3
Построение графика
Оба графика симметричны относительно оси $Oy$ и проходят
через $(0,1)$ . Первый имеет в этой точке минимум и направлен вверх, второй
имеет максимум и приближается к оси $Ox$ . $график к задаче Демидовича № 279$
4
Пункт в)
Функция $y=e^{1/x}$ .

Область определения задаётся условием $x\ne0$ . Односторонние пределы в нуле
различны: $\lim_{x\to0-}e^{1/x}=0\qquad\lim_{x\to0+}e^{1/x}=+\infty$ Поэтому $x=0$ является вертикальной асимптотой. На бесконечности показатель
стремится к нулю, и $\lim_{x\to\pm\infty}e^{1/x}=1$ Следовательно, $y=1$ — горизонтальная асимптота.

Производная равна $y'=-\frac{e^{1/x}}{x^2}<0$ Функция строго убывает на каждом из промежутков $(-\infty,0)$ и
$(0,+\infty)$ . При $x<0$ её значения лежат между $0$ и $1$ , а при $x>0$
они больше $1$ . Поэтому $E=(0,1)\cup(1,+\infty)$
5
Построение графика
Слева от оси $Oy$ строим убывающую ветвь между уровнями
$y=1$ и $y=0$ . Справа строим убывающую ветвь от $+\infty$ к асимптоте
$y=1$ . $график к задаче Демидовича № 279$
6
Пункт г)
Функция $y=e^{1/x^2}$ .
7
Функция определена при $x\ne0$ и является чётной. Для всех допустимых $x$
показатель $1/x^2$ положителен, поэтому $y>1$ . Пределы равны $\lim_{x\to0\pm}e^{1/x^2}=+\infty\qquad\lim_{x\to\pm\infty}e^{1/x^2}=1$ Следовательно, $x=0$ является вертикальной асимптотой, а $y=1$ —
горизонтальной. Производная $y'=-\frac{2e^{1/x^2}}{x^3}$ положительна при $x<0$ и отрицательна при $x>0$ . Функция возрастает на
$(-\infty,0)$ и убывает на $(0,+\infty)$ , а её множество значений равно
$(1,+\infty)$ .
8
Пункт д)
Функция $y=e^{-1/x^2}$ .

Область определения снова задаётся условием $x\ne0$ , а функция является
чётной. Имеем $\lim_{x\to0\pm}e^{-1/x^2}=0\qquad\lim_{x\to\pm\infty}e^{-1/x^2}=1$ Точка $x=0$ не принадлежит области определения, но бесконечного предела в ней
нет, поэтому вертикальной асимптоты здесь нет. На графике отмечается выколотая
предельная точка $(0,0)$ . Прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой.

Производная равна $y'=\frac{2e^{-1/x^2}}{x^3}$ Она отрицательна при $x<0$ и положительна при $x>0$ . Поэтому функция убывает
на $(-\infty,0)$ и возрастает на $(0,+\infty)$ , а её множество значений имеет
вид $(0,1)$ .
9
Для каждого $x\ne0$ функции из подпунктов г) и д) связаны соотношением $e^{-1/x^2}=\frac1{e^{1/x^2}}$
10
Построение графика
Проводим общую горизонтальную асимптоту $y=1$ . Ветви
$e^{1/x^2}$ лежат выше неё и уходят вверх около $x=0$ ; ветви
$e^{-1/x^2}$ лежат ниже неё и подходят к выколотой точке $(0,0)$ . $график к задаче Демидовича № 279$
11
Пункт е)
Функция $y=e^{\frac{2x}{1-x^2}}$ .

Внутренняя дробь не определена при $x=-1$ и $x=1$ , поэтому $D=\mathbb R\setminus\{-1,1\}$ Обозначим показатель через $g(x)=\frac{2x}{1-x^2}$ Он является нечётной функцией. Поэтому для исходной функции выполняется
соотношение $f(-x)=e^{g(-x)}=e^{-g(x)}=\frac1{f(x)}$ Одностороннее поведение у исключённых точек имеет вид $\begin{aligned}\lim_{x\to-1-}f(x)&=+\infty&\lim_{x\to-1+}f(x)&=0\\\lim_{x\to1-}f(x)&=+\infty&\lim_{x\to1+}f(x)&=0\end{aligned}$ Следовательно, прямые $x=-1$ и $x=1$ являются вертикальными асимптотами.
При $x\to\pm\infty$ показатель стремится к нулю, поэтому $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=1$ Прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой.

Производная показателя положительна во всей его области определения: $g'(x)=\frac{2(1+x^2)}{(1-x^2)^2}>0$ Следовательно, $f'(x)=e^{g(x)}g'(x)>0$ и функция строго возрастает на каждом из промежутков $(-\infty,-1)$ ,
$(-1,1)$ и $(1,+\infty)$ . Средняя ветвь принимает все положительные
значения, поэтому $E=(0,+\infty)$ График проходит через точку $(0,1)$ . Для уточнения формы отметим также точки $\begin{aligned}f(-2)&=e^{4/3}&f\left(-\frac12\right)&=e^{-4/3}\\f\left(\frac12\right)&=e^{4/3}&f(2)&=e^{-4/3}\end{aligned}$
12
Построение графика
Проводим асимптоты $x=-1$ , $x=1$ и $y=1$ . На каждом
из трёх промежутков области определения строим возрастающую ветвь с учётом
односторонних пределов. $график к задаче Демидовича № 279$

Проверка

Ответ. Все шесть функций положительны. Их области определения,
асимптоты, монотонность и характерные точки указаны в соответствующих
разборах и согласованы с построенными графиками.