Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 279

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 279

Построить график сложной показательной функции y=ey1y=e^{y_1}, если:а) y1=x2б) y1=−x2в) y1=1x\text{а) }y_1=x^2
\quad
\text{б) }y_1=-x^2
\quad
\text{в) }y_1=\frac1xг) y1=1x2д) y1=−1x2е) y1=2x1−x2\text{г) }y_1=\frac1{x^2}
\quad
\text{д) }y_1=-\frac1{x^2}
\quad
\text{е) }y_1=\frac{2x}{1-x^2}
ПостроениеВсе шесть функций положительны. Их области определения,
асимптоты, монотонность и характерные точки указаны в соответствующих
разборах и согласованы с построенными графиками.

Построение

Пункт а)

Экспонента положительна при любом действительном значении показателя. Поэтому
в каждом подпункте функция ey1e^{y_1} не имеет нулей, а её область определения
совпадает с областью определения внутренней функции y1y_1. Кроме того, экспонента строго возрастает: если показатель увеличивается, значение экспоненты тоже увеличивается. Поэтому все промежутки возрастания и убывания внутренней функции сохраняются.

Функция y=ex2y=e^{x^2}.

Она определена на всей числовой прямой и является чётной. Поскольку x2⩾0x^2\geqslant0,ex2⩾1e^{x^2}\geqslant1причём равенство достигается только при x=0x=0. Квадрат x2x^2 убывает до нуля и возрастает после нуля; экспонента сохраняет этот порядок. Следовательно, функция убывает на (−∞,0)(-\infty,0), возрастает на
(0,+∞)(0,+\infty) и имеет минимум ymin⁡=1y_{\min}=1 в точке x=0x=0. При
x→±∞x\to\pm\infty функция стремится к +∞+\infty, поэтому её множество
значений равно [1,+∞)[1,+\infty).

Пункт б)

Функция y=e−x2y=e^{-x^2}.

Эта функция также определена на R\mathbb R и является чётной. Имеем0<e−x2⩽10<e^{-x^2}\leqslant1Показатель −x2-x^2 возрастает при движении к нулю слева и убывает справа от нуля. Экспонента сохраняет направление изменения. Поэтому функция возрастает
на (−∞,0)(-\infty,0), убывает на (0,+∞)(0,+\infty) и имеет максимум ymax⁡=1y_{\max}=1
при x=0x=0. Её множество значений равно (0,1](0,1].

При увеличении ∣x∣|x| число x2x^2 растёт, поэтому e−x2=1ex2e^{-x^2}=\frac{1}{e^{x^2}} приближается к нулю с положительной стороны.

То есть y=0y=0 является горизонтальной асимптотой.

Функции из подпунктов а) и б) связаны соотношениемe−x2=1ex2e^{-x^2}=\frac1{e^{x^2}}

Построение графика

Оба графика симметричны относительно оси OyOy и проходят
через (0,1)(0,1). Первый имеет в этой точке минимум и направлен вверх, второй
имеет максимум и приближается к оси OxOx.график к задаче Демидовича № 279

Пункт в)

Функция y=e1xy=e^{\frac{1}{x}}.

Область определения задаётся условием x≠0x\ne0. При приближении xx к нулю слева показатель 1x\frac{1}{x} становится большим отрицательным числом, а экспонента приближается к нулю. Справа показатель и экспонента неограниченно растут.

Поэтому x=0x=0 является вертикальной асимптотой.

При большом ∣x∣|x| показатель 1x\frac{1}{x} близок к нулю, поэтому значения e1xe^{\frac{1}{x}} близки к e0=1e^0=1.

Следовательно, y=1y=1 — горизонтальная асимптота.

Дробь 1x\frac{1}{x} строго убывает на каждой стороне от нуля, а возрастающая экспонента сохраняет направление изменения. Функция строго убывает на каждом из промежутков (−∞,0)(-\infty,0) и
(0,+∞)(0,+\infty). При x<0x<0 её значения лежат между 00 и 11, а при x>0x>0
они больше 11. ПоэтомуE=(0,1)∪(1,+∞)E=(0,1)\cup(1,+\infty)

Построение графика

Слева от оси OyOy строим убывающую ветвь между уровнями
y=1y=1 и y=0y=0. Справа строим убывающую ветвь от +∞+\infty к асимптоте
y=1y=1.график к задаче Демидовича № 279

Пункт г)

Функция y=e1x2y=e^{\frac{1}{x^2}}.
Функция определена при x≠0x\ne0 и является чётной. Для всех допустимых xx
показатель 1x2\frac{1}{x^2} положителен, поэтому y>1y>1. Вблизи нуля положительный показатель 1x2\frac{1}{x^2} неограниченно растёт, поэтому график поднимается с обеих сторон. При большом ∣x∣|x| показатель близок к нулю, а значения функции близки к 11.

Следовательно, x=0x=0 является вертикальной асимптотой, а y=1y=1 —
горизонтальной. Показатель 1x2\frac{1}{x^2} возрастает слева от нуля и убывает справа, поэтому такие же направления имеет экспонента. Функция возрастает на
(−∞,0)(-\infty,0) и убывает на (0,+∞)(0,+\infty), а её множество значений равно
(1,+∞)(1,+\infty).

Пункт д)

Функция y=e−1x2y=e^{-\frac{1}{x^2}}.

Область определения снова задаётся условием x≠0x\ne0, а функция является
чётной.

Вблизи нуля показатель −1x2-\frac{1}{x^2} становится большим отрицательным числом, и график подходит к точке (0,0)(0,0) с обеих сторон. При большом ∣x∣|x| показатель близок к нулю, а ордината — к 11.

Точка x=0x=0 не принадлежит области определения, но неограниченного роста вблизи неё
нет, поэтому вертикальной асимптоты здесь нет. На графике отмечается выколотая
предельная точка (0,0)(0,0). Прямая y=1y=1 является горизонтальной асимптотой.

Показатель −1x2-\frac{1}{x^2} убывает слева от нуля и возрастает справа. Поэтому функция убывает
на (−∞,0)(-\infty,0) и возрастает на (0,+∞)(0,+\infty), а её множество значений имеет
вид (0,1)(0,1).
Для каждого x≠0x\ne0 функции из подпунктов г) и д) связаны соотношениемe−1x2=1e1x2e^{-\frac{1}{x^2}}=\frac1{e^{\frac{1}{x^2}}}

Построение графика

Проводим общую горизонтальную асимптоту y=1y=1. Ветви
e1x2e^{\frac{1}{x^2}} лежат выше неё и уходят вверх около x=0x=0; ветви
e−1x2e^{-\frac{1}{x^2}} лежат ниже неё и подходят к выколотой точке (0,0)(0,0).график к задаче Демидовича № 279

Пункт е)

Функция y=e2x1−x2y=e^{\frac{2x}{1-x^2}}.

Внутренняя дробь не определена при x=−1x=-1 и x=1x=1, поэтомуD=R∖{−1,1}D=\mathbb R\setminus\{-1,1\}Обозначим показатель черезg(x)=2x1−x2g(x)=\frac{2x}{1-x^2}Он является нечётной функцией. Поэтому для исходной функции выполняется
соотношениеf(−x)=eg(−x)=e−g(x)=1f(x)f(-x)=e^{g(-x)}=e^{-g(x)}=\frac1{f(x)}Из знаков числителя и знаменателя видно: слева от каждой из точек −1-1 и 11 показатель неограниченно возрастает, а справа неограниченно убывает. Поэтому слева ветвь поднимается, а справа подходит к оси OxOx.

Следовательно, прямые x=−1x=-1 и x=1x=1 являются вертикальными асимптотами.

При большом ∣x∣|x| дробь 2x(1−x2)\frac{2x}{(1-x^2)} близка к нулю. Значения экспоненты при этом близки к 11.

Прямая y=1y=1 является горизонтальной асимптотой.

В №259 алгебраически доказано возрастание функции x(1−x2)\frac{x}{(1-x^2)} на каждом из трёх промежутков определения. Умножение на 22 и применение возрастающей экспоненты сохраняют этот порядок. Поэтому и ff возрастает на (−∞,−1)(-\infty,-1), (−1,1)(-1,1) и (1,+∞)(1,+\infty). Средняя ветвь принимает все положительные
значения, поэтомуE=(0,+∞)E=(0,+\infty)График проходит через точку (0,1)(0,1). Для уточнения формы отметим также точкиf(−2)=e43f(−12)=e−43f(12)=e43f(2)=e−43\begin{aligned}
f(-2)&=e^{\frac{4}{3}}
&f\left(-\frac12\right)&=e^{-\frac{4}{3}}\\
f\left(\frac12\right)&=e^{\frac{4}{3}}
&f(2)&=e^{-\frac{4}{3}}
\end{aligned}

Построение графика

Проводим асимптоты x=−1x=-1, x=1x=1 и y=1y=1. На каждом
из трёх промежутков области определения строим возрастающую ветвь с учётом поведения у концов промежутков.график к задаче Демидовича № 279
Демидович № 279 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика