Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 266

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики иррациональных функций:

Задача 266

y=±−x−2y=\pm\sqrt{-x-2}(парабола).

Построение

Идея

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:−x−2≥0⟺x≤−2-x-2\ge0
\quad\Longleftrightarrow\quad
x\le-2Поэтому область определения обеих функций имеет видD=(−∞,−2]D=(-\infty,-2]
  1. 1
    Идея. Объединим верхнюю и нижнюю ветви в одно уравнение. После
    возведения в квадрат получаемy2=−x−2⟺x=−y2−2y^2=-x-2
    \quad\Longleftrightarrow\quad
    x=-y^2-2    Это парабола с вершиной (−2,0)(-2,0), осью симметрии OxOx и ветвями,
    направленными влево. Знак ++ задаёт её верхнюю половину, а знак −-
    — нижнюю.

    При x=−2x=-2 обе функции равны нулю. Пересечения с осью OyOy нет,
    поскольку x=0x=0 не принадлежит области определения. Отметим опорные
    точки(−2,0),(−3,±1),(−6,±2),(−11,±3)(-2,0),
    \qquad
    (-3,\pm1),
    \qquad
    (-6,\pm2),
    \qquad
    (-11,\pm3)    Верхняя ветвь убывает от +∞+\infty до 00, а нижняя возрастает от
    −∞-\infty до 00. Вместе они принимают все действительные значения:E=RE=\mathbb RВ вершине касательная к параболе вертикальна и имеет уравнение x=−2x=-2.
  2. 2

    Построение графика

    Отмечаем вершину и симметричные пары опорных
    точек. Через них проводим две плавные ветви, соединяющиеся в вершине и
    уходящие влево до границы рисунка.график к задаче Демидовича № 266
Демидович № 266 — решение