Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 244

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 244

Материальная точка брошена под углом α=45∘\alpha=45^\circ к плоскости
горизонта с начальной скоростью v0=600v_0=600 м/с. Построить график
траектории движения и найти наибольшую высоту подъёма и дальность полёта
(считать g≈10g\approx10 м/с2^2, сопротивлением воздуха пренебречь).
ПостроениеНаибольшая высота подъёма равна 99 км, дальность полёта
равна 3636 км.

Построение

Идея

Поместим начало координат в точку броска, ось OxOx направим горизонтально,
а ось OyOy — вертикально вверх. При отсутствии сопротивления воздуха
горизонтальная составляющая скорости постоянна, а вертикальная меняется
под действием силы тяжести. Поэтомуx(t)=v0cos⁡α t,y(t)=v0sin⁡α t−gt22\begin{aligned}
x(t)&=v_0\cos\alpha\,t,\\
y(t)&=v_0\sin\alpha\,t-\dfrac{gt^2}{2}
\end{aligned}При α=45∘\alpha=45^\circ имеемsin⁡45∘=cos⁡45∘=22\sin45^\circ=\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}и, следовательно,x(t)=3002 t,y(t)=3002 t−5t2x(t)=300\sqrt2\,t,
\qquad
y(t)=300\sqrt2\,t-5t^2
  1. 1
    Идея. Чтобы получить уравнение траектории, исключим время. Из первого
    уравненияt=x3002t=\dfrac{x}{300\sqrt2}Подставляем это выражение во второе:y=y\mathrel{=}3002⋅x3002−5(x3002)2=300\sqrt2\cdot\dfrac{x}{300\sqrt2}
    -5\left(\dfrac{x}{300\sqrt2}\right)^2\mathrel{=}    x−x236000x-\dfrac{x^2}{36000}    Получили параболу с ветвями вниз, но траектории соответствует только её
    часть от момента броска до возвращения на уровень y=0y=0.
  2. 2
    Найдём время полёта. Решаем уравнение y(t)=0y(t)=0:3002 t−5t2=05t(602−t)=0\begin{aligned}
    300\sqrt2\,t-5t^2&=0\\
    5t(60\sqrt2-t)&=0
    \end{aligned}    Первый корень t=0t=0 соответствует моменту броска, а второй даётtпол=602 сt_{\text{пол}}=60\sqrt2\ \text{с}Дальность полёта равнаL=L\mathrel{=}x(602)=x(60\sqrt2)\mathrel{=}3002⋅602=300\sqrt2\cdot60\sqrt2\mathrel{=}36000 м=36000\ \text{м}\mathrel{=}36 км36\ \text{км}
  3. 3
    Для нахождения вершины траектории выделим полный квадрат:y=y\mathrel{=}x−x236000=x-\dfrac{x^2}{36000}\mathrel{=}−136000(x2−36000x)=-\dfrac1{36000}\left(x^2-36000x\right)\mathrel{=}9000−(x−18000)2360009000-\dfrac{(x-18000)^2}{36000}Значит, наибольшая высота достигается при x=18000x=18000 м и равнаHmax⁡=9000 м=9 кмH_{\max}=9000\ \text{м}=9\ \text{км}
  4. 4

    Построение графика

    Для удобства на графике измеряем обе координаты в
    километрах. Если XX и YY — численные значения координат в километрах,
    тоY=X−X236,0≤X≤36Y=X-\dfrac{X^2}{36},
    \qquad 0\le X\le36    Траектория является дугой параболы с концами (0,0)(0,0), (36,0)(36,0) и
    вершиной (18,9)(18,9).график к задаче Демидовича № 244

Проверка

Ответ. Наибольшая высота подъёма равна 99 км, дальность полёта
равна 3636 км.
Демидович № 244 — решение и ответ