Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 267

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики иррациональных функций:

y=\pm x\sqrt{x}

(парабола Нейля).

Построение

Корень

\sqrt{x}

существует при

x\ge0

, поэтому

D=[0,+\infty)

После возведения в квадрат обе ветви удовлетворяют уравнению

y^2=x^3

Это парабола Нейля. Возможна параметрическая запись:

x=t^2,\qquady=t^3,\qquadt\in\mathbb R

Действительно, при таком задании

y^2=t^6=x^3

, причём

x\ge0

.

Верхняя ветвь

y=x\sqrt x

неотрицательна и строго возрастает: при увеличении положительного

x

увеличиваются оба положительных множителя. Нижняя ветвь получается отражением относительно оси

Ox

и убывает. Обе выходят из начала координат.

Для понимания формы около начала рассмотрим наклон секущей из

(0,0)

к точке кривой:

\frac{y}{x}=\pm\sqrt x

при

x>0

. Его модуль меньше любого

\varepsilon>0

, если

0<x<\varepsilon^2

. Значит, направления обеих секущих приближаются к горизонтальному. Это даёт общую касательную

y=0

и объясняет, почему ветви образуют остриё.

Для построения используем точки

(0,0),\qquad(1,\pm1),\qquad(4,\pm8)

Верхняя ветвь принимает значения из

[0,+\infty)

, нижняя — из

(-\infty,0]

, поэтому для всей кривой

E=\mathbb R

Из начала координат проводим две симметричные
ветви с общей горизонтальной касательной. По мере роста

x

верхняя
ветвь поднимается, а нижняя опускается и обе доходят до границы окна. график к задаче Демидовича № 267