Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 267

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики иррациональных функций:

y=\pm x\sqrt{x}

(парабола Нейля).

Построение

Идея

Корень

\sqrt{x}

существует при

x\ge0

, поэтому

D=[0,+\infty)

После возведения в квадрат обе ветви удовлетворяют уравнению

y^2=x^3

Это парабола Нейля. Возможна параметрическая запись:

x=t^2,\qquady=t^3,\qquadt\in\mathbb R

Действительно, при таком задании

y^2=t^6=x^3

, причём

x\ge0

1
Идея. Верхняя ветвь $y=x\sqrt{x}=x^{3/2}$ неотрицательна и
возрастает, поскольку при $x>0$ $y'=\dfrac32\sqrt{x}>0$ Нижняя ветвь является её отражением относительно оси $Ox$ . При этом $\lim_{x\to0+}\dfrac32\sqrt{x}=0,\qquad\lim_{x\to0+}\left(-\dfrac32\sqrt{x}\right)=0$ Поэтому обе ветви проходят через начало координат, имеют там общую
касательную $y=0$ и образуют в точке $(0,0)$ остриё.
2
Для построения используем точки $(0,0),\qquad(1,\pm1),\qquad(4,\pm8)$ Верхняя ветвь принимает значения из $[0,+\infty)$ , нижняя — из
$(-\infty,0]$ , поэтому для всей кривой $E=\mathbb R$
3
Построение графика
Из начала координат проводим две симметричные
ветви с общей горизонтальной касательной. По мере роста $x$ верхняя
ветвь поднимается, а нижняя опускается и обе доходят до границы окна. $график к задаче Демидовича № 267$