Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 259

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики дробных рациональных функций:

y=\frac{x}{1-x^2}

Построение

Идея

Область определения задаётся условиями

x\ne-1

x\ne1

. Функция
нечётная:

f(-x)=-f(x)

поэтому график симметричен относительно начала координат. Единственный
ноль функции равен

x=0

1
Прямые $x=-1$ и $x=1$ являются вертикальными асимптотами. Поскольку
степень знаменателя выше степени числителя, $\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{1-x^2}=0$ то $y=0$ является горизонтальной асимптотой.

Знаки функции распределяются следующим образом: $\begin{aligned}y&>0 &&\text{при }x\in(-\infty,-1)\cup(0,1)\\y&<0 &&\text{при }x\in(-1,0)\cup(1,+\infty)\end{aligned}$ Идея. Производная $y'=\frac{1+x^2}{(1-x^2)^2}>0$ во всех точках области определения. Следовательно, функция строго
возрастает на каждом из промежутков $(-\infty,-1)$ , $(-1,1)$ и
$(1,+\infty)$ . Средняя ветвь принимает все действительные значения,
поэтому множество значений функции совпадает с $\mathbb R$ .
2
Построение графика
Проводим три асимптоты $x=-1$ , $x=1$ и $y=0$ .
Средняя возрастающая ветвь проходит через начало координат, две внешние
ветви приближаются к оси $Ox$ . $график к задаче Демидовича № 259$