Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 259

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики дробных рациональных функций:

y=\frac{x}{1-x^2}

Построение

Область определения задаётся условиями

x\ne-1

x\ne1

. Функция
нечётная:

f(-x)=-f(x)

поэтому график симметричен относительно начала координат. Единственный
ноль функции равен

x=0

.

Прямые

x=-1

x=1

являются вертикальными асимптотами. Поясним поведение вдали от начала координат.

При большом

|x|

дробь можно записать как

\dfrac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}-1}

. Числитель становится сколь угодно малым, а знаменатель близок к

-1

, поэтому ветви приближаются к оси

Ox

.

Поэтому

y=0

является горизонтальной асимптотой.

Знаки функции распределяются следующим образом:

\begin{aligned}y&>0 &&\text{при }x\in(-\infty,-1)\cup(0,1)\\y&<0 &&\text{при }x\in(-1,0)\cup(1,+\infty)\end{aligned}

Для

x_1<x_2

из одного промежутка области определения имеем

f(x_2)-f(x_1)=\frac{(x_2-x_1)(1+x_1x_2)}{(1-x_1^2)(1-x_2^2)}.

Знаменатель положителен. На внешних промежутках

x_1x_2>1

, на среднем

x_1x_2>-1

. Поэтому числитель также положителен. Все три ветви строго возрастают.

Средняя ветвь принимает каждое действительное значение

y

: этому значению соответствует

x=\frac{2y}{1+\sqrt{1+4y^2}}.

Модуль этой дроби меньше

1

, а подстановка даёт

\frac{x}{(1-x^2)}=y

. Поэтому множество значений всей функции равно

\mathbb R

Проводим три асимптоты

x=-1

x=1

y=0

.
Средняя возрастающая ветвь проходит через начало координат, две внешние
ветви приближаются к оси

Ox