Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 253

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики дробных рациональных функций:

Задача 253

y=x+\dfrac1x

Построение

Идея

Функция определена при всех

x\ne0

D(f)=\mathbb R\setminus\{0\}

Она нечётная, поскольку

f(-x)=-f(x)

, поэтому график симметричен
относительно начала координат.

1
Нулей нет: равенство $x+\dfrac1x=0$ после умножения на $x\ne0$ приводит к уравнению $x^2+1=0$ , не имеющему
действительных корней. Кроме того, $y-x=\dfrac1x\to0\qquad\text{при}\qquad |x|\to\infty$ поэтому прямая $y=x$ является наклонной асимптотой. Прямая $x=0$ —
вертикальная асимптота.

Идея. Найдём промежутки изменения: $y'=1-\dfrac1{x^2}=\dfrac{x^2-1}{x^2}$ Критические точки равны $x=-1$ и $x=1$ . Функция возрастает на
$(-\infty,-1)$ и $(1,+\infty)$ и убывает на $(-1,0)$ и $(0,1)$ .
При этом $f(-1)=-2,\qquadf(1)=2$ Следовательно, $(-1,-2)$ является точкой локального максимума левой
ветви, а $(1,2)$ — точкой локального минимума правой ветви. Множество
значений равно $E(f)=(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$ Одностороннее поведение около нуля: $x\to0-\Rightarrow y\to-\infty,\qquadx\to0+\Rightarrow y\to+\infty$
2
Построение графика
Проводим наклонную асимптоту $y=x$ , отмечаем точки
$(-1,-2)$ и $(1,2)$ и строим две ветви с учётом поведения около
$x=0$ и при бесконечности. $график к задаче Демидовича № 253$