Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 253

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики дробных рациональных функций:

y=x+\dfrac1x

Построение

Область определения —

x\ne0

. Функция нечётна, поэтому достаточно построить правую ветвь и отразить её относительно начала координат.
Для

x>0

имеем

f(x)-2=x+\frac1x-2=\frac{(x-1)^2}{x}\geq0.

Наименьшее значение правой ветви равно

2

и достигается при

x=1

. Чтобы узнать направление изменения, возьмём

0<x_1<x_2

f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)\left(1-\frac1{x_1x_2}\right).

При

x_2\leq1

произведение

x_1x_2<1

, и разность отрицательна. При

x_1\geq1

она положительна. Значит, правая ветвь убывает до

(1,2)

и затем возрастает. Левая получается центральной симметрией и имеет верхнюю точку

(-1,-2)

Нулей нет: равенство

x+\frac{1}{x}=0

привело бы к

x^2+1=0

. Множество значений равно

(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)

: при

|y|\geq2

квадратное уравнение

x^2-yx+1=0

имеет ненулевые действительные корни, а при

|y|<2

корней нет.

Около нуля член

\frac{1}{x}

неограниченно растёт по модулю, поэтому

x=0

— вертикальная асимптота. При больших

|x|

разность

f(x)-x=\frac{1}{x}

мала: её модуль меньше любого

\varepsilon>0

, как только

|x|>\frac{1}{\varepsilon}

. Поэтому ветви приближаются к прямой

y=x

; справа график выше этой прямой, слева — ниже.
Отмечаем точки

(1,2),(-1,-2)

и строим ветви с найденным направлением изменения. график к задаче Демидовича № 253