Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 241

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 241

По числовой оси движутся две материальные точки. Первая в начальный
момент времени t=0t=0 находилась на 2020 м влево от начала координат и
имела скорость v1=10v_1=10 м/с; вторая при t=0t=0 находилась на 3030 м
вправо от точки OO и имела скорость v2=−20v_2=-20 м/с. Построить графики
уравнений движения этих точек и найти время и место их встречи.
ПостроениеТочки встретятся через 53\dfrac53 с в точке числовой оси
с координатой −103-\dfrac{10}{3} м, то есть на расстоянии 103\dfrac{10}{3} м
левее начала координат.

Построение

Идея

При равномерном движении координата зависит от времени по формулеx(t)=x0+vtx(t)=x_0+vt
  1. 1
    Для первой точки начальная координата равна x01=−20x_{01}=-20 м, а скорость
    v1=10v_1=10 м/с. Поэтомуx1(t)=−20+10tx_1(t)=-20+10tДля второй точки x02=30x_{02}=30 м и v2=−20v_2=-20 м/с, следовательно,x2(t)=30−20tx_2(t)=30-20tВремя неотрицательно, поэтому обе функции рассматриваем при t≥0t\ge0.

    Идея. В момент встречи координаты точек одинаковы. Решаем уравнение−20+10t=30−20t30t=50t=53 с\begin{aligned}
    -20+10t&=30-20t\\
    30t&=50\\
    t&=\frac53\ \text{с}
    \end{aligned}    Координата места встречи равнаx1(53)=−20+10⋅53==−103 м\begin{aligned}
    x_1\left(\frac53\right)
    &=-20+10\cdot\frac53=\\
    &=-\frac{10}{3}\ \text{м}
    \end{aligned}    Подстановка во второе уравнение даёт то же значение:x2(53)=30−20⋅53=−103 мx_2\left(\frac53\right)
    =30-20\cdot\frac53
    =-\frac{10}{3}\ \text{м}
  2. 2

    Построение графика

    В системе координат (t,x)(t,x) строим при t≥0t\ge0 два
    луча, являющиеся частями соответствующих прямых. Первый луч выходит из
    точки (0,−20)(0,-20) и возрастает, второй выходит из точки (0,30)(0,30) и
    убывает. Их пересечение соответствует встрече.график к задаче Демидовича № 241

Проверка

Ответ. Точки встретятся через 53\dfrac53 с в точке числовой оси
с координатой −103-\dfrac{10}{3} м, то есть на расстоянии 103\dfrac{10}{3} м
левее начала координат.