Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 237

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 237

Построить график линейной однородной функции

y=ax

при

a=0,\dfrac12,1,2,-1

Построение

Идея

Функция

y=ax

определена при всех действительных

x

. При любом
значении параметра

a

имеем

y(0)=0

, поэтому все графики проходят
через начало координат.

1
Идея. Число $a$ называется угловым коэффициентом прямой. Если увеличить
$x$ на единицу, значение $y$ изменится на $a$ . Поэтому для построения
каждой прямой достаточно отметить точки $(0,0)$ и $(1,a)$ .
2
Рассмотрим каждое заданное значение параметра отдельно.

• При $a=0$ получаем функцию $y=0$ . Для $x=0$ и $x=1$
имеем соответственно $y=0$ и $y=0$ , поэтому отмечаем две различные
точки $(0,0)$ и $(1,0)$ . График совпадает с осью $Ox$ .

• При $a=\dfrac12$ получаем функцию $y=\dfrac{x}{2}$ . Точки
$(0,0)$ и $\left(1,\dfrac12\right)$ задают возрастающую прямую с
небольшим наклоном к оси $Ox$ .

• При $a=1$ получаем функцию $y=x$ . Она проходит через точки
$(0,0)$ и $(1,1)$ и возрастает под углом $45^\circ$ к положительному
направлению оси $Ox$ .

• При $a=2$ получаем функцию $y=2x$ . Она проходит через точки
$(0,0)$ и $(1,2)$ и возрастает круче, чем прямая $y=x$ .

• При $a=-1$ получаем функцию $y=-x$ . Она проходит через точки
$(0,0)$ и $(1,-1)$ и убывает.

Сведём полученные данные в таблицу. $таблица к задаче Демидовича № 237$

При $a>0$ прямая возрастает, при $a<0$ убывает, а при $a=0$
функция постоянна. Чем больше $|a|$ , тем сильнее наклонена прямая к
оси $Ox$ .
3
Построение графика
На одном рисунке проводим пять прямых через начало
координат. График $y=0$ совпадает с осью $Ox$ , поэтому выделяем его
бирюзовой линией поверх оси. $график к задаче Демидовича № 237$

Проверка

Все полученные графики являются прямыми, проходящими через точку

(0,0)

, а их направление определяется знаком и величиной

a