Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 275

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить график степенной функции y=xny=x^n при:

Задача 275

а) n=−1,−3б) n=−2,−4\text{а) }n=-1,-3
\qquad
\text{б) }n=-2,-4
ПостроениеВсе четыре графика имеют асимптоты x=0x=0 и y=0y=0; при нечётном
показателе ветви лежат в первой и третьей четвертях, а при чётном — в первой
и второй.

Построение

Пункт а)

Если n=−pn=-p, где pp — натуральное число, тоxn=x−p=1xpx^n=x^{-p}=\frac1{x^p}Поэтому во всех четырёх случаях x=0x=0 исключается из области определения.

При увеличении ∣x∣|x| модуль знаменателя xpx^p неограниченно растёт, поэтому 1xp\frac{1}{x^p} по модулю становится сколь угодно малым.

Прямая y=0y=0 является горизонтальной асимптотой, а x=0x=0 — вертикальной.

Нечётные отрицательные показатели n=−1,−3n=-1,-3.

Функции y=1xy=\frac{1}{x} и y=1x3y=\frac{1}{x^3} нечётные. Их графики симметричны относительно
начала координат и проходят через точки (−1,−1)(-1,-1) и (1,1)(1,1). Для положительных аргументов xpx^p возрастает, поэтому 1xp\frac{1}{x^p} убывает. На отрицательной полуоси при нечётном pp убывание получается из нечётности: для x1<x2<0x_1<x_2<0 имеем −x1>−x2>0-x_1>-x_2>0, откуда 1(−x1)p<1(−x2)p\frac{1}{(-x_1)}^p<\frac{1}{(-x_2)}^p и после смены знаков 1x1p>1x2p\frac{1}{x_1^p}>\frac{1}{x_2^p}.

При 0<∣x∣<10<|x|<1 значение ∣x∣−3|x|^{-3} больше, чем ∣x∣−1|x|^{-1}, а при ∣x∣>1|x|>1
оно меньше. Знак функции совпадает со знаком xx.

Построение графика

Проводим асимптоты и строим по две ветви каждой функции,
учитывая нечётность и взаимное расположение кривых.график к задаче Демидовича № 275

Пункт б)

Чётные отрицательные показатели n=−2,−4n=-2,-4.

Функции y=1x2y=\frac{1}{x^2} и y=1x4y=\frac{1}{x^4} чётные, поэтому их графики симметричны
относительно оси OyOy. Они положительны во всей области определения и проходят
через точки (−1,1)(-1,1) и (1,1)(1,1).
На положительной полуоси знаменатель xpx^p возрастает, поэтому обратная величина убывает. Чётность даёт возрастание на отрицательной полуоси.

При 0<∣x∣<10<|x|<1 выполняется x−4>x−2x^{-4}>x^{-2}, а при ∣x∣>1|x|>1 выполняется
x−4<x−2x^{-4}<x^{-2}.

Построение графика

Строим положительные правые ветви между двумя асимптотами,
после чего отражаем их относительно оси OyOy.график к задаче Демидовича № 275
Демидович № 275 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика