Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 275

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить график степенной функции

y=x^n

при:

Задача 275

\text{а) }n=-1,-3\qquad\text{б) }n=-2,-4

ПостроениеВсе четыре графика имеют асимптоты

x=0

y=0

; при нечётном
показателе ветви лежат в первой и третьей четвертях, а при чётном — в первой
и второй.

Построение

Идея

Если

n=-p

, где

p

— натуральное число, то

x^n=x^{-p}=\frac1{x^p}

Поэтому во всех четырёх случаях

x=0

исключается из области определения.
Кроме того,

\lim_{|x|\to\infty}\frac1{x^p}=0

Прямая

y=0

является горизонтальной асимптотой, а

x=0

— вертикальной.

1
Пункт а)
Нечётные отрицательные показатели $n=-1,-3$ .

Функции $y=1/x$ и $y=1/x^3$ нечётные. Их графики симметричны относительно
начала координат и проходят через точки $(-1,-1)$ и $(1,1)$ . Для нечётного
$p$ производная равна $\left(\frac1{x^p}\right)'=-\frac{p}{x^{p+1}}<0$ на каждом промежутке области определения. Поэтому обе функции строго убывают
на $(-\infty,0)$ и $(0,+\infty)$ .

При $0<|x|<1$ значение $|x|^{-3}$ больше, чем $|x|^{-1}$ , а при $|x|>1$
оно меньше. Знак функции совпадает со знаком $x$ .
2
Построение графика
Проводим асимптоты и строим по две ветви каждой функции,
учитывая нечётность и взаимное расположение кривых. $график к задаче Демидовича № 275$
3
Пункт б)
Чётные отрицательные показатели $n=-2,-4$ .

Функции $y=1/x^2$ и $y=1/x^4$ чётные, поэтому их графики симметричны
относительно оси $Oy$ . Они положительны во всей области определения и проходят
через точки $(-1,1)$ и $(1,1)$ .
4
Для чётного $p$ производная $\left(\frac1{x^p}\right)'=-\frac{p}{x^{p+1}}$ положительна при $x<0$ и отрицательна при $x>0$ . Следовательно, обе функции
возрастают на $(-\infty,0)$ и убывают на $(0,+\infty)$ .

При $0<|x|<1$ выполняется $x^{-4}>x^{-2}$ , а при $|x|>1$ выполняется
$x^{-4}<x^{-2}$ .
5
Построение графика
Строим положительные правые ветви между двумя асимптотами,
после чего отражаем их относительно оси $Oy$ . $график к задаче Демидовича № 275$

Проверка

Ответ. Все четыре графика имеют асимптоты

x=0

y=0

; при нечётном
показателе ветви лежат в первой и третьей четвертях, а при чётном — в первой
и второй.