Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 278

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 278

Построить график показательной функции y=axy=a^x приa=12,1,2,e,10a=\frac12,1,2,e,10
ПостроениеВсе графики проходят через (0,1)(0,1). Функция с основанием
12\frac{1}{2} убывает, функция с основанием 11 постоянна, остальные три функции
возрастают.

Построение

Показательная функция y=axy=a^x определена при всех действительных xx, если
a>0a>0. При a≠1a\ne1 множество её значений равно (0,+∞)(0,+\infty), а при a=1a=1
получается постоянная функция y=1y=1.

Все пять графиков проходят через одну точку, посколькуa0=1a^0=1то есть пересекают ось OyOy в точке (0,1)(0,1). Нулей у показательной функции
нет.

Для x2>x1x_2>x_1 отношение значений равно ax2ax1=ax2−x1\frac{a^{x_2}}{a^{x_1}}=a^{x_2-x_1}. При a>1a>1 оно больше 11, при 0<a<10<a<1 — меньше 11, а при a=1a=1 равно 11. Значит:

• при a=12a=\frac12 функция строго убывает;

• при a=1a=1 функция постоянна;

• при a=2,e,10a=2,e,10 функции строго возрастают.
Для a>1a>1 график показательной функции при движении вправо неограниченно поднимается, а при движении влево приближается к оси OxOx.

Если 0<a<10<a<1, равенство ax=(1a)−xa^x=(\frac{1}{a})^{-x} отражает предыдущий график относительно OyOy: слева значения неограниченно велики, справа приближаются к нулю.

Поэтому прямая y=0y=0 является горизонтальной асимптотой всех данных
непостоянных показательных функций.

При x>0x>0 увеличение основания увеличивает значение степени:(12)x<1<2x<ex<10x\left(\frac12\right)^x<1<2^x<e^x<10^xПри x<0x<0 полный порядок становится противоположным:(12)x>1>2x>ex>10x\left(\frac12\right)^x>1>2^x>e^x>10^xКроме того,(12)x=2−x\left(\frac12\right)^x=2^{-x}поэтому графики y=2xy=2^x и y=(12)xy=(\frac{1}{2})^x симметричны относительно оси OyOy.
Для построения используем характерные значения:таблица к задаче Демидовича № 278

Построение графика

Отмечаем общую точку (0,1)(0,1), строим постоянную функцию,
одну убывающую и три возрастающие кривые с учётом их взаимного расположения
и асимптоты y=0y=0.график к задаче Демидовича № 278