Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 278

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 278

Построить график сложной показательной функции

y=a^x

при

a=\frac12,1,2,e,10

ПостроениеВсе графики проходят через

(0,1)

. Функция с основанием

1/2

убывает, функция с основанием

1

постоянна, остальные три функции
возрастают.

Построение

Идея

Показательная функция

y=a^x

определена при всех действительных

x

, если

a>0

. При

a\ne1

множество её значений равно

(0,+\infty)

, а при

a=1

получается постоянная функция

y=1

1
Все пять графиков проходят через одну точку, поскольку $a^0=1$ то есть пересекают ось $Oy$ в точке $(0,1)$ . Нулей у показательной функции
нет.

Производная имеет вид $(a^x)'=a^x\ln a$ Поскольку $a^x>0$ , знак производной определяется знаком $\ln a$ :

• при $a=\frac12$ функция строго убывает;

• при $a=1$ функция постоянна;

• при $a=2,e,10$ функции строго возрастают.
2
Для основания $a>1$ выполняется $\lim_{x\to-\infty}a^x=0\qquad\lim_{x\to+\infty}a^x=+\infty$ Для основания $0<a<1$ направления пределов меняются: $\lim_{x\to-\infty}a^x=+\infty\qquad\lim_{x\to+\infty}a^x=0$ Поэтому прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой всех данных
непостоянных показательных функций.

При $x>0$ увеличение основания увеличивает значение степени: $\left(\frac12\right)^x<1<2^x<e^x<10^x$ При $x<0$ полный порядок становится противоположным: $\left(\frac12\right)^x>1>2^x>e^x>10^x$ Кроме того, $\left(\frac12\right)^x=2^{-x}$ поэтому графики $y=2^x$ и $y=(1/2)^x$ симметричны относительно оси $Oy$ .
3
Для построения используем характерные значения: $таблица к задаче Демидовича № 278$
4
Построение графика
Отмечаем общую точку $(0,1)$ , строим постоянную функцию,
одну убывающую и три возрастающие кривые с учётом их взаимного расположения
и асимптоты $y=0$ . $график к задаче Демидовича № 278$

Проверка

Ответ. Все графики проходят через

(0,1)

. Функция с основанием

1/2

убывает, функция с основанием

1

постоянна, остальные три функции
возрастают.