Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 254

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики дробных рациональных функций:

y=x^2+\dfrac1x

(трезубец Ньютона).

Построение

Сложим ординаты параболы и гиперболы; направление изменения уточним разностью значений.

Область определения —

x\ne0

. При

x=-1

значение равно нулю. Запись

f(x)=\frac{x^3+1}{x}

показывает, что функция положительна при

x<-1

x>0

и отрицательна при

-1<x<0

При отрицательных

x

обе функции

x^2

\frac{1}{x}

убывают, поэтому их сумма также строго убывает. Около нуля слева она уходит вниз, справа — вверх. При больших

|x|

отличие от параболы

y=x^2

равно

\frac{1}{x}

и становится сколь угодно малым. Левая ветвь находится под этой параболой, правая — над ней.

Рассмотрим правую ветвь. Положим

c=\frac{1}{\sqrt[3]2}

и сравним значения при

0<x_1<x_2

f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)\left(x_1+x_2-\frac1{x_1x_2}\right).

Знак скобки совпадает со знаком

x_1x_2(x_1+x_2)-1

. Если

x_2\leq c

, то

x_1x_2(x_1+x_2)<2c^3=1

; если

x_1\geq c

, произведение больше

1

. Значит, правая ветвь убывает на

(0,c]

и возрастает на

[c,+\infty)

. Её нижняя точка равна

\left(c,c^2+\frac1c\right)=\left(\frac1{\sqrt[3]2},\frac3{\sqrt[3]4}\right).

Для построения проводим вспомогательную параболу

y=x^2

, отмечаем

(-1,0)

и нижнюю точку правой ветви. Левая ветвь убывает, пересекая ось; правая проходит над параболой и имеет один поворот. график к задаче Демидовича № 254