Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 254

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики дробных рациональных функций:

Задача 254

y=x2+1xy=x^2+\dfrac1x(трезубец Ньютона).

Построение

Идея

Область определения имеет видD(f)=R∖{0}D(f)=\mathbb R\setminus\{0\}Прямая x=0x=0 является вертикальной асимптотой, причёмx→0−⇒y→−∞,x→0+⇒y→+∞x\to0-\Rightarrow y\to-\infty,
\qquad
x\to0+\Rightarrow y\to+\inftyПри ∣x∣→∞|x|\to\infty выполняетсяy−x2=1x→0y-x^2=\dfrac1x\to0поэтому парабола y=x2y=x^2 задаёт параболическую асимптоту графика.
  1. 1
    Найдём нули:x2+1x=0⟺x3+1=0⟺x=−1x^2+\dfrac1x=0
    \quad\Longleftrightarrow\quad
    x^3+1=0
    \quad\Longleftrightarrow\quad
    x=-1    Знак функции удобно определять по выражениюy=x3+1xy=\dfrac{x^3+1}{x}Отсюда y>0y>0 при x<−1x<-1 и x>0x>0, а y<0y<0 при −1<x<0-1<x<0.

    Идея. Вычислим производную:y′=2x−1x2=2x3−1x2y'=2x-\dfrac1{x^2}=\dfrac{2x^3-1}{x^2}Единственная критическая точка равнаx=123x=\dfrac1{\sqrt[3]{2}}На промежутках (−∞,0)(-\infty,0) и
    (0,123)\left(0,\dfrac1{\sqrt[3]{2}}\right) функция убывает, а на
    (123,+∞)\left(\dfrac1{\sqrt[3]{2}},+\infty\right) возрастает. В критической
    точке достигается локальный минимум:ymin⁡=343y_{\min}=\dfrac{3}{\sqrt[3]{4}}Левая ветвь непрерывно убывает от +∞+\infty до −∞-\infty, поэтому
    множество значений всей функции совпадает с R\mathbb R.
  2. 2

    Построение графика

    Строим параболическую асимптоту y=x2y=x^2. Левую
    ветвь проводим через точку (−1,0)(-1,0), а правую — через точку минимума
    (123,343)\left(\dfrac1{\sqrt[3]{2}},\dfrac3{\sqrt[3]{4}}\right).график к задаче Демидовича № 254
Демидович № 254 — решение