Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 252

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 252

Газ при давлении p0=1p_0=1 Па занимает объём V0=12V_0=12 м3^3.
Построить график изменения объёма VV газа в зависимости от давления
pp, если температура газа остаётся постоянной (закон Бойля–Мариотта).
ПостроениеV(p)=12p,p>0V(p)=\dfrac{12}{p},
\qquad p>0

Построение

Идея

При постоянной температуре произведение давления газа на его объём
остаётся постоянным:pV=p0V0pV=p_0V_0По условию p0V0=1⋅12=12p_0V_0=1\cdot12=12, поэтомуV(p)=12pV(p)=\dfrac{12}{p}В физической задаче давление и объём положительны:p>0,V>0p>0,
\qquad
V>0
  1. 1
    Идея. Полученная зависимость является положительной ветвью гиперболы.
    При увеличении давления объём уменьшается. Например, увеличение давления
    в два раза уменьшает объём в два раза.

    Составим таблицу опорных значений.таблица к задаче Демидовича № 252

    Предельное поведение имеет видp→0+⟹V→+∞,p→+∞⟹V→0+p\to0+\quad\Longrightarrow\quad V\to+\infty,
    \qquad
    p\to+\infty\quad\Longrightarrow\quad V\to0+    Поэтому координатные оси служат асимптотами, но физический график
    расположен только в первой четверти.
  2. 2

    Построение графика

    Строим ветвь гиперболы V=12pV=\dfrac{12}{p} при
    p>0p>0 и отмечаем точки из таблицы. Точка (1,12)(1,12) соответствует
    начальному состоянию газа.график к задаче Демидовича № 252

Проверка

Ответ.V(p)=12p,p>0V(p)=\dfrac{12}{p},
\qquad p>0