Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 238

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 238

Построить график линейной функции

y=x+b

при

b=0,1,2,-1

Построение

Идея

Область определения каждой функции — вся числовая прямая.

1
Идея. График $y=x+b$ получается из прямой $y=x$ вертикальным переносом
на $b$ единиц. Угловой коэффициент всегда равен $1$ , поэтому все
прямые параллельны.

При $x=0$ получаем $y=b$ , следовательно, прямая пересекает ось $Oy$ в
точке $(0,b)$ . Чтобы найти пересечение с осью $Ox$ , полагаем $y=0$ : $x+b=0,\qquadx=-b$ Значит, второе пересечение имеет координаты $(-b,0)$ .
2
Рассмотрим каждое значение $b$ отдельно.

• При $b=0$ функция имеет вид $y=x$ . Обе точки пересечения с
координатными осями совпадают с началом координат, поэтому они не
могут задать прямую как две различные точки. Возьмём дополнительно
$x=1$ : $x=0\ \Longrightarrow\ y=0,\qquadx=1\ \Longrightarrow\ y=1$ Строим прямую через точки $(0,0)$ и $(1,1)$ .

• При $b=1$ получаем $y=x+1$ . Подстановки $x=0$ и $y=0$ дают $x=0\ \Longrightarrow\ y=1,\qquady=0\ \Longrightarrow\ x=-1$ Строим прямую через точки $(0,1)$ и $(-1,0)$ .

• При $b=2$ получаем $y=x+2$ . Аналогично, $x=0\ \Longrightarrow\ y=2,\qquady=0\ \Longrightarrow\ x=-2$ Строим прямую через точки $(0,2)$ и $(-2,0)$ .

• При $b=-1$ получаем $y=x-1$ . В этом случае $x=0\ \Longrightarrow\ y=-1,\qquady=0\ \Longrightarrow\ x=1$ Строим прямую через точки $(0,-1)$ и $(1,0)$ . $таблица к задаче Демидовича № 238$
3
Построение графика
Сначала строим $y=x$ , затем переносим её на одну и
две единицы вверх и на одну единицу вниз. $график к задаче Демидовича № 238$

Проверка

Все четыре прямые имеют одинаковый наклон и отличаются только
вертикальным положением.