Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 238

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 238

Построить график линейной функцииy=x+by=x+bпри b=0,1,2,−1b=0,1,2,-1.

Построение

Область определения каждой функции — вся числовая прямая.

График y=x+by=x+b получается из прямой y=xy=x вертикальным переносом
на bb единиц. Угловой коэффициент всегда равен 11, поэтому все
прямые параллельны.

При x=0x=0 получаем y=by=b, следовательно, прямая пересекает ось OyOy в
точке (0,b)(0,b). Чтобы найти пересечение с осью OxOx, полагаем y=0y=0:x+b=0,x=−bx+b=0,
\qquad
x=-bЗначит, второе пересечение имеет координаты (−b,0)(-b,0).
Рассмотрим каждое значение bb отдельно.

• При b=0b=0 функция имеет вид y=xy=x. Обе точки пересечения с
координатными осями совпадают с началом координат, поэтому они не
могут задать прямую как две различные точки. Возьмём дополнительно
x=1x=1:x=0 ⟹ y=0,x=1 ⟹ y=1x=0\ \Longrightarrow\ y=0,
\qquad
x=1\ \Longrightarrow\ y=1Строим прямую через точки (0,0)(0,0) и (1,1)(1,1).

• При b=1b=1 получаем y=x+1y=x+1. Подстановки x=0x=0 и y=0y=0 даютx=0 ⟹ y=1,y=0 ⟹ x=−1x=0\ \Longrightarrow\ y=1,
\qquad
y=0\ \Longrightarrow\ x=-1Строим прямую через точки (0,1)(0,1) и (−1,0)(-1,0).

• При b=2b=2 получаем y=x+2y=x+2. Аналогично,x=0 ⟹ y=2,y=0 ⟹ x=−2x=0\ \Longrightarrow\ y=2,
\qquad
y=0\ \Longrightarrow\ x=-2Строим прямую через точки (0,2)(0,2) и (−2,0)(-2,0).

• При b=−1b=-1 получаем y=x−1y=x-1. В этом случаеx=0 ⟹ y=−1,y=0 ⟹ x=1x=0\ \Longrightarrow\ y=-1,
\qquad
y=0\ \Longrightarrow\ x=1Строим прямую через точки (0,−1)(0,-1) и (1,0)(1,0).таблица к задаче Демидовича № 238

Построение графика

Сначала строим y=xy=x, затем переносим её на одну и
две единицы вверх и на одну единицу вниз.график к задаче Демидовича № 238

Все четыре прямые имеют одинаковый наклон и отличаются только
вертикальным положением.
Демидович № 238 — решение | Высшая математика — Профиматика