Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 242

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 242

Построить графики целых рациональных функций 2-й степени (параболы):

\text{а) }y=ax^2\quad\text{при }a=1,\frac12,2,-1;

\text{б) }y=(x-x_0)^2\quad\text{при }x_0=0,1,2,-1;

\text{в) }y=x^2+c\quad\text{при }c=0,1,2,-1

Построение

Идея

Область определения каждой из рассматриваемых функций совпадает со всей
числовой прямой: любое действительное число можно подставить вместо

x

.
За исходный график будем принимать параболу

y=x^2

с вершиной в начале
координат и осью симметрии

Oy

1
Пункт а)
Семейство $y=ax^2$ .

Коэффициент $a$ умножает каждую ординату исходной параболы на число $a$ .
Поэтому его знак определяет направление ветвей, а модуль —
ширину параболы. Если $0<|a|<1$ , парабола шире, чем $y=x^2$ ; если
$|a|>1$ , она уже; при $|a|=1$ ширина не меняется.

• При $a=1$ получаем исходную параболу $y=x^2$ .

• При $a=\dfrac12$ все ординаты уменьшаются в два раза. Парабола
становится шире, чем $y=x^2$ .

• При $a=2$ все ординаты увеличиваются в два раза. Парабола
становится уже, чем $y=x^2$ .

• При $a=-1$ график $y=x^2$ отражается относительно оси $Ox$ ;
его ветви направлены вниз.
2
Для всех четырёх функций вершиной служит точка $(0,0)$ , а осью симметрии
служит ось $Oy$ . При $a>0$ множество значений равно $[0,+\infty)$ , а
при $a=-1$ оно равно $(-\infty,0]$ .
3
Для построения удобно отметить значения при $x=0$ , $x=\pm1$ и $x=\pm2$ : $таблица к задаче Демидовича № 242$ $график к задаче Демидовича № 242$
4
Пункт б)
Семейство $y=(x-x_0)^2$ .

Замена $x$ на $x-x_0$ сдвигает график $y=x^2$ вдоль оси $Ox$ на
$x_0$ единиц: при $x_0>0$ — вправо, а при $x_0<0$ — влево.
Действительно, наименьшее значение квадрата равно нулю и достигается,
когда $x-x_0=0,\qquad x=x_0$ Следовательно, вершина параболы имеет координаты $(x_0,0)$ , а её осью
симметрии служит прямая $x=x_0$ . Ветви всех четырёх парабол направлены
вверх, и множество значений каждой функции равно $[0,+\infty)$ .
5
Для каждого значения $x_0$ отметим вершину и ещё две симметричные
опорные точки.

• При $x_0=0$ получаем $y=x^2$ . Вершина равна $(0,0)$ , а при
$x=-1$ и $x=1$ получаем точки $(-1,1)$ и $(1,1)$ .

• При $x_0=1$ получаем $y=(x-1)^2$ . Вершина сдвигается в
точку $(1,0)$ ; значения $x=0$ и $x=2$ дают точки $(0,1)$ и $(2,1)$ .

• При $x_0=2$ получаем $y=(x-2)^2$ . Вершина равна $(2,0)$ ,
а симметричными опорными точками служат $(1,1)$ и $(3,1)$ .

• При $x_0=-1$ получаем $y=(x+1)^2$ . Вершина равна $(-1,0)$ ,
а при $x=-2$ и $x=0$ получаем точки $(-2,1)$ и $(0,1)$ . $таблица к задаче Демидовича № 242$ $график к задаче Демидовича № 242$
6
Пункт в)
Семейство $y=x^2+c$ .

Прибавление числа $c$ ко всем значениям функции сдвигает график
$y=x^2$ вдоль оси $Oy$ : при $c>0$ — вверх, а при $c<0$ — вниз.
Абсцисса вершины не меняется, поэтому вершина имеет координаты $(0,c)$ ,
а осью симметрии по-прежнему служит ось $Oy$ . Наименьшее значение
функции равно $c$ , то есть множество значений имеет вид $[c,+\infty)$ .
7
Для каждого значения $c$ отметим вершину и две симметричные точки с
абсциссами $-1$ и $1$ .

• При $c=0$ получаем $y=x^2$ . Вершина равна $(0,0)$ , а
дополнительными точками служат $(-1,1)$ и $(1,1)$ .

• При $c=1$ получаем $y=x^2+1$ . График сдвигается на единицу
вверх: вершина равна $(0,1)$ , а точки $(-1,2)$ и $(1,2)$ лежат на
параболе.

• При $c=2$ получаем $y=x^2+2$ . После сдвига на две единицы
вверх вершина имеет координаты $(0,2)$ ; опорные точки равны
$(-1,3)$ и $(1,3)$ .

• При $c=-1$ получаем $y=x^2-1$ . График сдвигается на единицу
вниз: вершина равна $(0,-1)$ , а точки $(-1,0)$ и $(1,0)$ являются
одновременно опорными точками и нулями функции. $таблица к задаче Демидовича № 242$

Пересечение с осью $Ox$ возможно только при $x^2+c=0$ . Поэтому
$y=x^2$ касается оси $Ox$ в начале координат, графики $y=x^2+1$ и
$y=x^2+2$ не пересекают её, а график $y=x^2-1$ пересекает ось $Ox$
в точках $(-1,0)$ и $(1,0)$ . $график к задаче Демидовича № 242$

Проверка

Таким образом, множитель перед

x^2

изменяет направление и ширину
параболы, замена

x

на

x-x_0

отвечает за горизонтальный перенос,
а прибавление числа

c

— за вертикальный перенос.