Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 242

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 242

Построить графики целых рациональных функций 2-й степени (параболы):а) y=ax2при a=1,12,2,−1;\text{а) }y=ax^2\quad\text{при }a=1,\frac12,2,-1;б) y=(x−x0)2при x0=0,1,2,−1;\text{б) }y=(x-x_0)^2\quad\text{при }x_0=0,1,2,-1;в) y=x2+cпри c=0,1,2,−1\text{в) }y=x^2+c\quad\text{при }c=0,1,2,-1

Построение

Пункт а)

Область определения каждой из рассматриваемых функций совпадает со всей
числовой прямой: любое действительное число можно подставить вместо xx.
За исходный график будем принимать параболу y=x2y=x^2 с вершиной в начале
координат и осью симметрии OyOy.

Семейство y=ax2y=ax^2.

Коэффициент aa умножает каждую ординату исходной параболы на число aa.
Поэтому его знак определяет направление ветвей, а модуль —
ширину параболы. Если 0<∣a∣<10<|a|<1, парабола шире, чем y=x2y=x^2; если
∣a∣>1|a|>1, она уже; при ∣a∣=1|a|=1 ширина не меняется.

• При a=1a=1 получаем исходную параболу y=x2y=x^2.

• При a=12a=\dfrac12 все ординаты уменьшаются в два раза. Парабола
становится шире, чем y=x2y=x^2.

• При a=2a=2 все ординаты увеличиваются в два раза. Парабола
становится уже, чем y=x2y=x^2.

• При a=−1a=-1 график y=x2y=x^2 отражается относительно оси OxOx;
его ветви направлены вниз.
Для всех четырёх функций вершиной служит точка (0,0)(0,0), а осью симметрии
служит ось OyOy. При a>0a>0 множество значений равно [0,+∞)[0,+\infty), а
при a=−1a=-1 оно равно (−∞,0](-\infty,0].
Для построения удобно отметить значения при x=0x=0, x=±1x=\pm1 и x=±2x=\pm2:
таблица к задаче Демидовича № 242график к задаче Демидовича № 242

Пункт б)

Семейство y=(x−x0)2y=(x-x_0)^2.

Замена xx на x−x0x-x_0 сдвигает график y=x2y=x^2 вдоль оси OxOx на
x0x_0 единиц: при x0>0x_0>0 — вправо, а при x0<0x_0<0 — влево.
Действительно, наименьшее значение квадрата равно нулю и достигается,
когдаx−x0=0,x=x0x-x_0=0,
\qquad x=x_0Следовательно, вершина параболы имеет координаты (x0,0)(x_0,0), а её осью
симметрии служит прямая x=x0x=x_0. Ветви всех четырёх парабол направлены
вверх, и множество значений каждой функции равно [0,+∞)[0,+\infty).
Для каждого значения x0x_0 отметим вершину и ещё две симметричные
опорные точки.

• При x0=0x_0=0 получаем y=x2y=x^2. Вершина равна (0,0)(0,0), а при
x=−1x=-1 и x=1x=1 получаем точки (−1,1)(-1,1) и (1,1)(1,1).

• При x0=1x_0=1 получаем y=(x−1)2y=(x-1)^2. Вершина сдвигается в
точку (1,0)(1,0); значения x=0x=0 и x=2x=2 дают точки (0,1)(0,1) и (2,1)(2,1).

• При x0=2x_0=2 получаем y=(x−2)2y=(x-2)^2. Вершина равна (2,0)(2,0),
а симметричными опорными точками служат (1,1)(1,1) и (3,1)(3,1).

• При x0=−1x_0=-1 получаем y=(x+1)2y=(x+1)^2. Вершина равна (−1,0)(-1,0),
а при x=−2x=-2 и x=0x=0 получаем точки (−2,1)(-2,1) и (0,1)(0,1).
таблица к задаче Демидовича № 242график к задаче Демидовича № 242

Пункт в)

Семейство y=x2+cy=x^2+c.

Прибавление числа cc ко всем значениям функции сдвигает график
y=x2y=x^2 вдоль оси OyOy: при c>0c>0 — вверх, а при c<0c<0 — вниз.
Абсцисса вершины не меняется, поэтому вершина имеет координаты (0,c)(0,c),
а осью симметрии по-прежнему служит ось OyOy. Наименьшее значение
функции равно cc, то есть множество значений имеет вид [c,+∞)[c,+\infty).
Для каждого значения cc отметим вершину и две симметричные точки с
абсциссами −1-1 и 11.

• При c=0c=0 получаем y=x2y=x^2. Вершина равна (0,0)(0,0), а
дополнительными точками служат (−1,1)(-1,1) и (1,1)(1,1).

• При c=1c=1 получаем y=x2+1y=x^2+1. График сдвигается на единицу
вверх: вершина равна (0,1)(0,1), а точки (−1,2)(-1,2) и (1,2)(1,2) лежат на
параболе.

• При c=2c=2 получаем y=x2+2y=x^2+2. После сдвига на две единицы
вверх вершина имеет координаты (0,2)(0,2); опорные точки равны
(−1,3)(-1,3) и (1,3)(1,3).

• При c=−1c=-1 получаем y=x2−1y=x^2-1. График сдвигается на единицу
вниз: вершина равна (0,−1)(0,-1), а точки (−1,0)(-1,0) и (1,0)(1,0) являются
одновременно опорными точками и нулями функции.таблица к задаче Демидовича № 242

Пересечение с осью OxOx возможно только при x2+c=0x^2+c=0. Поэтому
y=x2y=x^2 касается оси OxOx в начале координат, графики y=x2+1y=x^2+1 и
y=x2+2y=x^2+2 не пересекают её, а график y=x2−1y=x^2-1 пересекает ось OxOx
в точках (−1,0)(-1,0) и (1,0)(1,0).график к задаче Демидовича № 242

Таким образом, множитель перед x2x^2 изменяет направление и ширину
параболы, замена xx на x−x0x-x_0 отвечает за горизонтальный перенос,
а прибавление числа cc — за вертикальный перенос.
Демидович № 242 — решение | Высшая математика — Профиматика