Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 285

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 285

Построить график функции y=sin⁡(x−x0)y=\sin(x-x_0), еслиx0=0,π4,π2,3π4,πx_0=0,\frac\pi4,\frac\pi2,\frac{3\pi}4,\pi

Построение

Идея

Область определения каждой функции совпадает с R\mathbb R, множество
значений равно [−1,1][-1,1], а наименьший положительный период равен 2π2\pi.
  1. 1
    Идея. Замена аргумента xx на x−x0x-x_0 переносит график y=sin⁡xy=\sin x
    вдоль оси OxOx на x0x_0 единиц вправо. Действительно, если точка
    (u,sin⁡u)(u,\sin u) лежит на исходной синусоиде, то после подстановкиu=x−x0⟺x=u+x0u=x-x_0
    \qquad\Longleftrightarrow\qquad
    x=u+x_0    ей соответствует точка (u+x0,sin⁡u)(u+x_0,\sin u) нового графика.

    Нули, максимумы и минимумы перенесённой синусоиды находятся из равенств
    для её аргумента:sin⁡(x−x0)=0⟺x=x0+πksin⁡(x−x0)=1⟺x=x0+π2+2πksin⁡(x−x0)=−1⟺x=x0+3π2+2πk\begin{aligned}
    \sin(x-x_0)=0
    &\quad\Longleftrightarrow\quad x=x_0+\pi k\\
    \sin(x-x_0)=1
    &\quad\Longleftrightarrow\quad x=x_0+\frac\pi2+2\pi k\\
    \sin(x-x_0)=-1
    &\quad\Longleftrightarrow\quad x=x_0+\frac{3\pi}{2}+2\pi k
    \end{aligned}    где k∈Zk\in\mathbb Z.
  2. 2
    Для каждого заданного значения x0x_0 укажем по одной точке каждого типа.таблица к задаче Демидовича № 285

    В частности,sin⁡(x−π2)=−cos⁡xsin⁡(x−π)=−sin⁡x\sin\left(x-\frac\pi2\right)=-\cos x
    \qquad
    \sin(x-\pi)=-\sin x
  3. 3

    Построение графика

    Берём исходную синусоиду. Затем строим четыре её
    горизонтальных переноса. Амплитуда и период всех пяти кривых одинаковы.график к задаче Демидовича № 285

Проверка

Все графики имеют одну и ту же форму и отличаются только положением вдоль
оси OxOx.
Демидович № 285 — решение